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1、1 西藏山南市第二高级中学西藏山南市第二高级中学 20192019 届高三下学期第一次模拟届高三下学期第一次模拟 考试数学（理）试题考试数学（理）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.设集合 A=则 AB=“( “ ) A. B. （3，4）C. （-2，1）D. （4+） 【答案】B 【解析】 试题分析：因为，又因为，所以 . 考点：解不等式求交集. 2.复数，则 对应的点所在的象限为
2、（ ） A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数以及复数的几何意义进行判断即可. 【详解】 则，对应的点的坐标为，位于第四象限 本题正确选项： 【点睛】本题主要考察复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题. 3.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 2 由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调 性便可判断选项 错误，从而得出 正确 【详解】 选项：根据的图象知该函数非奇
3、非偶，可知 错误； 选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知 错误； 选项：时，为增函数，不符合题意，可知 错误； 选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知 正 确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题 4.函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案 【详解】 函数的最小正周期为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题 5.以下说法错误的是（ ） A. 命题“若，
4、则”的逆否命题为“若，则” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题存在，使得，则:对任意，都有 D. 若 且 为假命题，则均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】 3 根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条 件的判定可知 正确；根据复合命题的真假性可知 错误，由此可得结果. 【详解】 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若，则” ，可知 正确； 选项：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知 正确； 选项：根据命题的否定可知对任意，都有，可知 正确； 选项：由 且 为假命题，则至少有一个为假命题，因此 不正确. 本题正确
5、选项： 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 6.在等差数列中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列的前 项和公式直接求解即可 【详解】在等差数列中， 本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列的前 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用 7.函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析： 函数零点在区间（e，3） 内 考点：函数零点存在性定理 4 8.二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 在
6、二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于 ，求出 的值，再求得常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为 令，求得 故展开式中的常数项为 本题正确选项： 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 9.执行如图所示的程序框图，若，则输出的 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出 的值 【详解】执行如图所示的程序框图，有 满足条件，有，； 5 满足条件，有,； 满足条件，有，； 满足条件，有，； 不满足条件，退出循环，输出 的值为 本题正确选项：
7、 【点睛】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题. 10.已知椭圆左右焦点分别为，双曲线的一条渐近线交椭圆于点 ，且满足 ，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，假设 点坐标，利用和 在椭圆上构造方程组，解得结果代入 渐进性方程，得到的关系，再利用双曲线之间的关系，求解离心率即可 【详解】椭圆左右焦点分别为，椭圆的离心率为 不妨令，则 所以椭圆方程为： 双曲线的一条渐近线交椭圆于点 ，且满足 可设，可得， 则：，解得： 代入双曲线方程渐近线方程，可得 6 双曲线
8、的离心率为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组， 求得双曲线之间满足的关系是解题关键. 11.若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为和 ，则 的值为（ ） A. B. C. 或D. 或 【答案】C 【解析】 设 P(x0,y0),则 36=2p, 即 p2-20p+36=0. 解得 p=2 或 18.故选 C. 12.已知满足不等式组，设的最小值为 ，则函数的最小 正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出 的值，然后根据三角函数的周
9、期公 式进行求解即可 【详解】作出不等式组对应的平面区域，如下图阴影部分所示： 7 的几何意义是区域内的点到定点的距离的平方 由图象知的距离最小 此时最小值为 则 最小正周期 本题正确选项： 【点睛】本题主要考查三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划中距离型问题的求解方法求 出 的值是解决本题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，若，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量平行的性质直接构造方程求解 【详解】向量，且 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量平行的性质
10、，属于基础题 14.若 ，则 的值是_ 【答案】2 【解析】 8 试题分析：，易得，故答案为. 考点：定积分的计算. 15.在中，内角所对的边分别为，已知，当的面积最大时， _ 【答案】0 【解析】 【分析】 利用正弦定理将边化角，得出，利用正弦定理求出 ，带入面积公式可得 关于 的函数，从而得出面 积最大时对应的 的值，进而求得 【详解】 ，由正弦定理可得： 又 由可得：或 或（舍去） ， 由正弦定理可得 当时 取得最大值，此时 本题正确结果： 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，关键是能够通过正弦定理对边角关系式 进行化简，从而得到角之间的关系 16.设不等式组表示
11、的平面区域为 ，在区域 内随机取一个点，则此点到直线的距离 9 大于 的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 作出可行域，找到点到直线距离等于 的临界状态，从而找到符合题意的区域，以面积为测度，可求得概 率 【详解】如图，不等式对应的区域为及其内部 其中 求得直线交 轴于点 当点 在线段上时，点 到直线的距离等于 要使点 到直线的距离大于 ，则点 应在内（或其边界） 因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率 本题正确结果： 【点睛】本题考查几何概型，确定符合条件要求的点构成的区域是解决本题的关键 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应
12、写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在中，已知 （1）求的值； （2）若为的中点，求的长. 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（）在三角形中，再求出，代入即得；（）由 10 （）可得，再由正弦定理得，解 得在中，用余弦定理可求得. 试题解析：（）且，2 分 4 分 6 分 （）由（）可得8 分 由正弦定理得，即，解得 10 分 在中，所以12 分 考点：1、三角恒等变换；2、解三角形. 18.设数列的前 项和为，已知 （1）设，证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】 （）见解析；（） 【解析】 试题分析：（1）先根据
13、和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义进行证明（2）先求由 变形得，根据等差数列定义求，即得数列的通项公式 试题解析：（1）由及，有 . . 得， ， 11 设，则 且 数列是首项为 3，公比为 2 的等比数列 （）由（）可得 ， ， ， 设，则, 是以 为首项，公差为 的等差数列 ， 19.已知椭圆 的离心率为，其中左焦点. （1）求出椭圆 的方程； （2）若直线与曲线 交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值. 【答案】 （1）（2）或 【解析】 【分析】 （1）根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定 理表示出点横坐标，代入直
14、线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得. 【详解】 （1）由题意得： ， 解得：， 所以椭圆 的方程为： （2）设点，线段的中点为 12 由，消去 得 由，解得： 所以， 因为点在曲线上 所以 解得：或 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来， 从而利用点在曲线上构造方程，求得结果. 20.已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求导后可知导 函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情
15、况下讨论的正负，从而得 到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系. 【详解】当时，则 又， 所以在处的切线方程为，即 （2）由函数，得： 当时， 又函数的定义域为 所以的单调递减区间为 13 当时，令，即，解得： 当时， 所以变化情况如下表： 极小值 所以 的单调递减区间为 ，；单调递增区间为 当时， 所以变化情况如下表： 极大值 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性 问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；本题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情
16、况和函数的定义域的影响. 21.袋中装有黑色球和白色球共 个，从中任取 个球都是白色球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出 个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在 每一次被摸出的机会都是等可能的，用 表示摸球终止时所需摸球的次数. （1）求随机变量 的分布和均值； （2）求甲摸到白色球的概率. 【答案】(1)分布列见解析，E(X)2. (2) P(A). 14 【解析】 分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量 X 的概率分布列和数学期望； （2）记事件A为“甲摸到白色球” ，则事件A包括以下三个互斥事件：A1“甲第 1 次摸球时摸出白色球” ； A2“甲第 2 次摸球时摸出白色球” ；A3“甲第 3 次摸球时摸出白色球” ，利用互斥事件
