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1、精品文档整理2011年9月21号分數計算在單位分數所指示的內容物為單一個物的情境下，解決被乘數是真分數（分母12），乘數是整數（12）的問題（積數1）。在單位分數所指示的內容物為整數個物的情境下，解決同分母（分母12），帶分數的合成分解問題。在單位分數所指示的內容物為單一個物的情境下，解決幾個幾分之一合起來是多少個一又多少個幾分之一、多少個幾分之一合起來，是幾個一又幾個幾分之一的問題。在單位分數所指示的內容物為單一個物的情境下，解決多少個幾分之幾合起來是幾個一、幾個幾分之一合起來是多少個一的問題。在單位分數所指示的內容物為單一個物的情境下，解決被乘數是帶分數（分母12），乘數是整數（12）的問
2、題。壹、分數之合成分解一、數學結構與整數加法概念的觀點相同逗号分數加（減）法概念是指逗号對於一個一個各種類型的分數加（減）法問題逗号會引發一個一個的解題活動逗号而由這些解題活動所抽出的共同性質即是分數加（減）法概念。而某某人的分數加（減）法概念是指逗号某某人從小到現在為止逗号所經驗過一個一個的分數加（減）法解題活動逗号並從這些解題活動中所抽出的共同性質稱為某某人的分數加（減）法概念。當兒童對於分數已有正確的概念逗号則當其經驗少數幾個分數加法的問題之後逗号應已或多或少有了初步的分數加法概念逗号而隨著其對分數問題解決活動的增加逗号概念也愈來愈細緻逗号也就是說分數加法概念得以發展。延續對分數數詞的認
3、識逗号引入分數的合成與分解問題時逗号在連續量情境下逗号協助學童解決分數的合成與分解問題逗号並使用算式記錄解題過程與結果逗号或使用算式填充題記錄文字題逗号建立分數加減算式的溝通工具。二、解題策略要幫助學童了解分數合成分解的意義逗号可以透過下列方式：1. 親自參與具體活動；2. 旁觀具體活動；3. 透過錄影帶等動態媒體觀察具體活動；4. 觀察具體物；5. 觀看圖片或幻燈片等靜態平面媒體；6. 用語言文字來描述具體活動；7. 用語言文字描述其特性（或特徵）。其中16的方式是用實例來架構該表徵的意義逗号而7是由把大人（專家）的看法和觀點加諸於學童身上。而教師們普遍同意1的方式逗号讓學童親自參考具體活動
4、是最有效建立表徵意義的學習活動逗号而且學童能長久的記憶逗号但由於上課時間的壓力逗号大部份的學習內容教師們無法使用1的方式。另外逗号所有教師都同意提供實例是幫助學童建立表徵意義最好的手段。目標導向的發展式數學教學觀認為：學童親自參與具體活動是建立表徵意義最有效的方式逗号雖然有些表徵不方便讓學童親自進行具體活動逗号但對於數學教材並非難事。因此主張：教材及教師應布置各種類型的分數加法問題逗号並由學童自行解題才能確實地形成及提昇分數加法概念逗号並認為教師示範解題-學童模仿的方式逗号學童可能是不了解的死背的假學習逗号造成學童日後無法使用這個概念來做為學習其他數學教材的工具。三、認知結構當學童能用自己的方
5、法解決相當數量的整數加法問題之後逗号必須引入(1)算式摘要紀錄；(2)解題過程紀錄；(3)問題紀錄等三種格式紀錄來表徵解題活動中的一些內容。並主張使用下列流程與時機來引入整數加法問題有關的各種格式紀錄：整數加法有關的數學語言項目及其引入流程以下針對各種與整數加法有關的格式記錄摘要說明之逗号讀者亦可參考國小數學教材分析-整數的數概念與加減運算一書。1.算式摘要紀錄目標導向的發展式數學課程主張：課程設計者應考量在學童的可能發展區（Zone of proximal development; Vygotsky, 1978）內提供同類型的情境文字題（例如整數加法的追加型和併加型）逗号即選擇絕大部份學童能
6、用自己方法解決的問題逗号讓教師布題逗号而學童用自己的方法解題逗号如果學童有解題困難時逗号提醒其可以用具體物或圖象來幫助解題逗号待預期學童形成解題活動類型之後逗号即預期相當數量的學童感受到這些問題都有相同的解題活動方式後逗号再於重新布題的情境中逗号要求學童算完後用一個算式把問題和結果記下來逗号以完成引入算式摘要紀錄的工作。發展式數學課程建議教師用以下的布題方式要求學童做出算式摘要紀錄：小華有8個糖果逗号小明有7個糖果逗号兩人共有多少個？算完後用一個算式把問題和結果記下來。在首次引入算式摘要紀錄時逗号學童會發明各式各樣的紀錄逗号例如8715等等逗号其實學童的發明已符合數學上簡化的目的逗号使得學童在
7、進一步的教材學習中逗号此算式得以成為解題工具。但最後仍希望學童使用社會文化所共用的加法算式：8715來表徵上述問題的問題、結果及解題活動方式逗号其理由是學童必須與教室外的人溝通。像這樣先讓學童嘗試發明逗号贊同他們做得很好逗号最後由於社會上的大人們都使用標準算式逗号為了溝通的需要要求學童也使用標準的算式逗号發展式數學課程也叫做命名活動。2.解題過程紀錄發展式數學課程建議使用下列的布題來要求學童做出解題過程紀錄：老闆昨天進了284公斤的米逗号今天又進了499公斤的米逗号兩天共進了多少公斤的米？把你先算什麼逗号後算什麼逗号一步一步用算式記下來。逗号由此命令可知解題過程紀錄是指學童用一個一個的標準算式
8、（數學格式或數學語言）所記錄的才叫解題過程紀錄逗号如果學童是使用圖象來記錄解題過程逗号在發展式數學課程裡只稱之為解題草稿而已。發展式數學課程主張：解題過程紀錄應是忠實的反應學童自己的解題過程逗号而不可要求解題策略和解題過程紀錄的標準化逗号也就是說不可以要求學童使用統一的解題過程紀錄。要求學童做解題過程紀錄逗号對學童有什麼幫助？抑或只是方便教師探查學童的想法而已。要求學童做解題過程紀錄有下列的功能：(1)溝通：讓別人（尤其是教師和關心的家長）能知道學童一步步在算什麼逗号以便了解學童學習的困擾處。(2)反思：學童做解題過程紀錄相當於在進行反思（反身性思惟）逗号可以加速概念的發展逗号而所做出的解題過
9、程紀錄使學童易於做事後的解題過程檢查逗号而這也是在進行反思。(3)加速加法算式成為解題工具：在引入整數加法算式、減法算式、乘法算式、除法算式摘要紀錄之後逗号應儘可能的要求學童使用這些算式進行解題過程紀錄逗号由於解題過程紀錄的限制逗号學童必須使用一個一個的算式（此時學童用加法算式）來記錄解題過程逗号於是在學童反覆使用各種算式的情境中逗号必然加速這個算式成為學習進一步數學教材或面對數學問題的解題工具。3.問題紀錄在數學上逗号問題紀錄是指對於一個使用語言或文字等描述的問題逗号在未進行解題活動之前先把原問題表徵為一個用簡單數學符號所呈現的問題逗号由於是在未解題之前就要先進行問題紀錄逗号所以發展式數學課
10、程認為要求學童做問題紀錄逗号即等同於要求學童先提解題計劃再解題一樣。目標導向的發展式數學課程的觀點認為：(1)學童須對是類問題已相當程度的熟悉後逗号才可能在未解題之前先提出解題計劃；(2)學童對於用來做為表徵原文字題的工具（數學符號：含未知部份的算式或叫算式填充題）逗号也必須相當程度的了解逗号才有成功的機會。82年版部編本指對於一個使用語言或文字等描述的問題逗号在未進行解題之前先把問題表徵為一個算式填充題逗号稱之為問題紀錄。例如用238()逗号來記錄一盒草莓有23顆逗号8盒共有多少顆？。而82年版部編本通常用這樣的文字來布題以要求學童進行問題紀錄逗号例如一盒草莓有23顆逗号8盒共有多少顆？逗号
11、先用算式填充題把問題記下來後再算看看。根據這樣的觀點逗号目標導向的發展式數學課程建議對於整數加減乘除法問題逗号採這三階段來培養學童各種的問題紀錄能力：引入問題紀錄的階段表一、介紹工具：引入算式填充題（87( )）（參見82年版部編本第一冊最後單元）二、熟悉工具：給予一個活動（約78題）幫學童了解算式填充題也是一個數學問題逗号也可單獨解題（無法解題時可以回到情境文字題來幫助解題）。三、使用工具：此時再要求學童先使用算式填充題來記錄情境文字題逗号再進行解題活動。初接觸時學童可能會回到情境文字題來幫助解題逗号教師不必反對逗号大多數學童終會脫離情境文字題單獨解題。 問題紀錄對學童的重要性如何逗号學者專
12、家各有不同意見逗号但對於解題計劃而言逗号對善於作研究的學者確堅持其重要性。64年版部編本高年級的怎樣解題兩單元逗号由於課本、參考書及大多數的教師都要求學童用一個算式（國小尚未有未知數）先記下後再計算逗号使得部份可以用自己方法解題的學童卻無法列式再算逗号因而恐懼數學。這些四則混合運算的文字題逗号如果不要求先列式再解題逗号應會增加相當數量的學童可以解題成功。4.分數加減運算格式紀錄的處理分數加減乘除問題的各格式紀錄的引入是否要等待學童對某一運算逗号例分數加法情境文字題的解題活動相當熟悉（形成解題活動類型）之後逗号再引入算式摘要紀錄呢？由於學童已能使用整數加減乘除各種算式摘要紀錄來記錄其對應的情境文
13、字題之解題活動方式和結果逗号預期學童可以模仿或類推至分數加減問題的情境逗号故建議教師可在進行幾個分數加法情境文字題成功解題之後逗号即可要求學童用算式摘要紀錄來記錄此問題的問題、解題活動方式和結果。至於解題過程紀錄逗号學童可以使用整數的算式來記錄解題過程逗号故教師宜提醒學童隨時把先算什麼逗号後算什麼記下來逗号以利學童反省解題過程逗号並加速分數加法概念的形成。最後對於分數問題紀錄逗号82年部編本認為國小學童尚未了解抽象的分數問題逗号而堅持國小的所有分數問題須在量的情境文字題逗号且必須提供基準單位量1的個數的情境之下逗号進行分數問題的解題活動逗号即不可布或( )這樣的純分數字問題或分數算式填充題。即
14、算式摘要紀錄（或）只能用來記錄某一分數加法問題的問題、解題活動方式和結果逗号而分數算式填充題()只能用來記錄一個分數加法問題逗号而不可直接布題給予學童解題。由此可知逗号(1)分數加減乘除算式填充題只引入用以記錄其量的情境文字題；(2)不直接布純分數的算式填充題給學童解題；(3)分數加減乘除算式填充題能成為問題紀錄的工具逗号是由整數加減乘除法問題的問題紀錄的能力遷移而來。 （1） 先澄清單位分數數詞的意義：（2）用真分數數詞布題；（3）學生嘗試解題與記錄解題過程；（4）要求學生以分數算式摘要記錄解題活動。解題過程的紀錄逗号只要能反映活動的過程即可逗号並不限制一定要使用含分數的算式來記錄。在學生記
15、錄解題過程的活動後逗号才要求學生以分數算式摘要記錄解題活動與結果。四、分數合成加減之類型與問題解析從分數加（減）法概念的本質來看逗号學童必須經歷各種類型的分數加（減）法問題的解題活動後逗号其分數加（減）法概念才會趨於完整。回顧整數加法問題類型為併加型情境文字題、追加型情境文字題、加法標準算式填充題、.等等（參見國小數學教材分析-整數的數概念及加減運算第30頁）。由於學童在整數加法問題的解題經驗的累積逗号使得學童已把這些問題歸納為加法問題逗号故在分數加法問題中已不須再分為併加型、追加型等逗号但由於分數問題情境的差異使得學童在解題時逗号產生解題操作方式的不同逗号是故可依分數問題情境的分類來區別分數加減問題類型如下：1. 同分母分數的加法、減法同分母分數的加減逗号如果用單位分數的想法來處理的話逗号就和整數的加減相同。例如：以來說逗号是3個逗号是2個逗号合起來共有5個逗号就是。而指導時逗号宜用長度、 容量等問題導入逗号藉分數板的操作逗号進而用圖解、數線等來幫助理解計算的意義和方法。茲舉例於後逗号以做參考：（1） 用分數板操作（
