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1、第五讲导数及其应用1导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)2函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数yxsinx.3函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如
2、函数y|x|在x0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件4闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值1(2013广东)若曲线ykxlnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案1解析yk，y|x1k10，k1.2(2013福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A对任意xR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极
3、小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析A错，因为极大值未必是最大值B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点D对，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点3(2013浙江)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误
4、；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误B项正确4(2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析利用极值的存在条件判定当x0，得f(x)0；当2x1时，y(1x)f(x)0，得f(x)0；当1x0，得f(x)2时，y(1x)f(x)0，f(x)在(，2)上是增函数，在(2,1)上是减函数，在(
5、1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)5(2013安徽)若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3B4C5D6答案A解析f(x)3x22axb，由已知得x1x2，且若x1x2，如图，同理得方程3(f(x)22af(x)b0有三个不同实根题型一导数意义及应用例1(1)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_(2)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点
6、的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_审题破题(1)利用导数的几何意义，列方程求交点P的坐标(2)本题是导数和数列的综合，可先从函数图象的切线方程出发，确定ak1和ak的关系答案(1)(2,15)(2)21解析(1)因为y3x210，设P(x，y)，则由已知有3x2102，即x24，x2，又点P在第二象限，x2.则y(2)310(2)315，点P坐标为(2,15)(2)对函数yx2，y2x，函数yx2(x0)在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，令y0得ak1ak.又a116，a3a2a14，a5a31，a1a3a5164121.反思归纳在求曲线的切线方
7、程时，注意两点：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线不管点P在不在曲线上，点P不一定是切点；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解变式训练1直线y2xb是曲线ylnx (x0)的一条切线，则实数b_.答案ln21解析切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值y，令2，得x，故切点为，代入直线方程，得ln2b，所以bln21.题型二利用导数研究函数的单调性例2已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)在1
8、，)上单调，求实数a的取值范围审题破题(1)直接根据f(x)0或f(x)0.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解变式训练2设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)f(x)在0，)上单调递增而f(0)0，于是
9、当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，令ex(ex1)(ex2a)0得1ex2a，0xln2a.故当x(0，ln2a)时，f(x)0，f(x)在(0，ln2a)上单调递减而f(0)0，于是当x(0，ln2a)时，f(x)0，所以f(x)在区间1，e上为增函数所以当x1时，f(x)取得最小值；当xe时，f(x)取得最大值e21.(2)证明设h(x)g(x)f(x)x3x2lnx，x1，)，则h(x)2x2x.当x(1，)时，h(x)0，h(x)在区间1，)上为增函数，所以h(x)h(1)0.所以对于x(1，
10、)，g(x)f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方反思归纳(1)求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；(2)用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口变式训练3(2013广东)设函数f(x)(x1)exkx2(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值M.解(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)令f(x)0得x10，x2ln2.列表如下：x(，0)0(0，ln2)ln2(ln2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(，0)，(ln2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxx(ex2k)，k1，12k2，由(1)可知f(x)在(0，ln2k)上单调递减，在(ln2k，)上单调递增设g(x)xln2x，则g(x)11，x1，12，1g(1)1ln20，0即kln2k，f(x)在(0，ln2k)上单调递减，在(ln2k，k)上
