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1、第二节 古典概型强化训练当堂巩固1.一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为( ) A. B. C. D.答案:D 解析:两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8). 2.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是( ) A.B.C.D.答案:A 解析:一枚硬币连掷3次,共有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)8种情况,而只有一次出现正面的情况有:(正,反,反),(
2、反,正,反),(反,反,正)3种情况,故. 3.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(-2,1),则向量pq的概率为 ( ) A.B.C.D.答案:B 解析:向量pq,pq=-2m+n=0.n=2m,满足条件的(m,n)有3个,分别为(1,2),(2,4),(3,6),故选B. 4.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率等可能地取则原点到l的距离小于1的概率是. 答案:解析:由点到直线的距离公式知,原点到过点(0,1)且斜率分别为的直线的距离分别为即基本事件总数为7,而“原点到l的距离小于1”这一事件包含6个基本事件,
3、故原点到l的距离小于1的概率为. 5.(2011广东五校联考)已知关于x的一元二次函数f(x)=a设集合P=1,2,3,Q=-1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b). (1)列举出所有的数对(a,b),并求函数y=f(x)有零点的概率;提示:函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根 (2)求函数y=f(x)在区间上是增函数的概率. 解:(1)(a,b)共有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)共15种情况.因
4、为函数y=f(x)有零点,所以有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况满足条件,所以函数y=f(x)有零点的概率为. (2)函数y=f(x)的对称轴为又f(x)在区间上是增函数,则有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)共13种情况满足条件. 所以函数y=f(x)在区间上是增函数的概率为. 课后作业巩固提升见课后作业A 题组一 基本事件的概念 1.下列试验是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口
5、袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶盘进行射击,试验结果为,命中10环,命中9环,命中0环 答案:B 解析:A中一粒种子“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的,故不是古典概型;B中适合古典概型的两个基本特征,即有限性和可能性;C中该点落在圆内任意一个位置是随机的,有无限多种可能,故不是古典概型;D中射击运动员命中10环,命中9环,命中0环,射中结果的概率一般不相等. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 ( ) A. B. C. D.答案:C 解析:
6、甲站在中间的情况有两种,而基本事件总共有6种,所以. 3.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 ( ) A.B.C.D.答案:C 解析:方法一:从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件,所以所求概率为. 方法二:本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件A)与取到不合格品(记为事件B)恰为对立事件,因此P(A)=1-P. 题组二 简单的古典概型 4.如图所示,a、b、c、d是四个处于断开状态的开关,任意将其中两个闭合,则电路被接通的概率为( ) A.1B.C.D
7、.0 答案:B 解析:四个开关任意闭合2个,有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种方案,电路被接通的条件是:开关d必须闭合;开关a、b、c中有一个闭合,即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案,所以所求的概率是. 5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为. 答案:解析:在5个长度中一次随机抽取2个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),
8、(2.8,2.9)共10种情况,满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9)共2种情况,所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为. 6.在集合x|3,10中任取一个元素,所取元素恰好满足cos的概率是. 答案:解析:基本事件的个数为10,其中只有和时,cos故其概率为. 题组三 复杂的古典概型 7.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是( ) A.B.C.D.答案:B 解析:由题意知x=y的概率是故的概率为.又xy与yx的概率相等,故
9、xy的概率为. 8.盒子中有5个小球,其中3个红球,2个白球,从盒子中任意取出两个球,则一个是白球、另一个是红球的概率为( ) A.B.C.D.答案:D 解析:记红球为a,b,c,白球为A,B,则基本事件有ab,ac,bc,AB,aA,aB,bA,bB,cA,cB共10个,而一个白球、一个红球包含的基本事件有6个,所以选D. 9.设1,2,32,4,6,则函数y=log是增函数的概率为. 答案:解析:在定义域内是减函数,要使函数y=log是增函数,必须有1种能作底的有6种,. 10.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等
10、于. 答案:1 解析:由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1. 11.设有关于x的一元二次方程.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解:设事件A为”方程有实根”.当时,方程有实根的充要条件为. 其中基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.而事件A中包含9个基本事件,所以事件A发生的概率为. 12.某商场举行抽奖大酬宾活动,从装有编
11、号为0,1,2,3四个大小相同的小球的抽奖箱中同时摸出两个小球,两个小球号码之和为质数的中三等奖,号码之和为合数的中二等奖,号码之和既不是质数也不是合数的中一等奖. (1)求某顾客中三等奖的概率; (2)求某顾客至少中二等奖的概率. 解:(1)设“某顾客中三等奖”为事件A,两个小球号码之和为质数有:(0,2)、(0,3)、(1,2)、(2,3)四种摸法,即A所含的基本事件数为4,而从四个小球中任摸两个共有:(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的摸法,即事件总数为6, . (2)方法一:设“某顾客至少中二等奖”为事件B, 从四个小球中任摸两个,号码之和只有质数、合数和既不是质数也不是合数三种情形,又顾客中奖为必然事件, P(B)=1-P. 方法二:设“某顾客中二等奖”为事件B,“中一等奖”为事件C, 两球号码之和为合数的只有:(1,3)一种摸法,. 两球号码之和既不是质数也不是合数只有(0,1)一种摸法,. 某顾客至少中二等奖的概率P=P(B)+P(C).
