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1、考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列四 立体几何（理）教师版【命题趋势】：理科的立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和
2、垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等 (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查
3、使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角【方法与技巧】【高考冲刺押题】【押题1】如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，为的中点.（） 证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【押题指数】【解析】（） 证明：连接，因为，,所以2分因为面，面所以面4分（）作，分别令为轴，轴，轴,建立坐标系如图因为，所以，所以，6分设面的法向量为,所以，化简得，令，则10分设，则设直线与面所成角为，则所以，则直线与面所成角的正弦值为12分【押题2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB= 2AD =2CD =2E是PB的中点（I
4、）求证：平面EAC平面PBC;（II）若二面角P-A C-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【押题指数】【解析】（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD2，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC4分（）如图，以C为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)（a0），DACEPBxyz则E(，)，6分(1，1，0)，(0，0，a)，(，)，取m(1，1，0)，则mm0，m为面PAC的法向量设n(x，y，
5、z)为面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2于是n(2，2，2)，(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为12分【押题3】如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，是的中点.（1）求证：平面平面； （2）求二面角所成平面角的余弦值.【押题指数】【解析】解法一：（1）PA平面ABCD,CD平面ABC PACD ABCD是矩形 ADCD 而PA ADA CD平面PAD CD平面PDC 平面平面4分【押题4】如图，多面体中，是梯形，是矩形，平面平面，（1）若是棱上一点，平面，
6、求；（2）求二面角的平面角的余弦值【押题指数】【解析】（1）连接，记，在梯形中，因为，所以，从而，又因为，所以，连接，由平面得，因为是矩形，所以。7分（2）以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则有，即， 解得，同理可得平面的一个法向量为13分，观察知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为14分【押题5】如图1，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的大小.图1 图2 【押题指数】【解析】（）证明：取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以.
7、2分所以在图2中有，.3分所以为二面角的平面角.【押题6】在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.（I）求证：平面；(II)若/平面，试确定点的位置，并给出证明；(III)求二面角的余弦值.【押题指数】【解析】(I) 证明：在直三棱柱中，点是的中点，,平面2分平面，即3分又平面4分（II）当是棱的中点时，/平面5分证明如下:连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ，6分由已知条件，为正方形，为的中点，7分，且四边形为平行四边形又 8分/平面9分【押题7】在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；()求多面体的体积. 【押题指数】【解析】：()证明：，
8、.又,是的中点， ，四边形是平行四边形， . 平面，平面，平面. ()证明：平面，平面， 又，平面，平面. 过作交于，则平面.平面， . ，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， 又平面，平面,平面. 平面,. () 平面，平面， 由（2）知四边形为正方形，. ，（3）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设,则.设为平面的法向量,.设平面的法向量为.化简得.解得.所以存在点，且 . 解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分【押题10】四
9、棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，BCD=60，PA=PD=，E是BC中点，点Q在侧棱PC上 （）求证：ADPB； （）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；（）若，当PA / 平面DEQ时，求的值【押题指数】【解析】（）取AD中点O，连结OP，OB，BD 因为 PA=PD，所以 POAD 1分因为 菱形ABCD中，BCD=60，所以 AB=BD，所以 BOAD 2分因为 BOPO=O， 3分所以 AD平面POB4分所以 ADPB 5分（）由（）知BOAD，POAD因为 侧面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCD=AD，所以PO底面ABCD6
10、分以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系7分则，因为为中点，所以8分所以 ，所以平面的法向量为【名校试题】1、如图，在六面体中，.求证：（1）；（2）.【试题出处】江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试（数学）【解析】（1）取线段的中点，连结、，因为，所以，3分又，平面，所以平面而平面，所以.7分（2）因为，平面，平面，所以平面9分又平面，平面平面，11分所以同理得，所以14分2、在棱长为的正方体ABCD中，E为棱AB的中点，点P在平面，DP平面PCE试求：（）线段DP的长；（）直线DE与平面PCE所成角的正弦值；【试题出处】江苏省苏北四市（徐、淮、连、宿）高三3月联考试
11、题（数学）【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，2分因为平面，所以，所以，故解得 (舍去)或4分即， 所以，所以6分由知，平面，设DE与平面PEC所成角为，与所成角为则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为10分第19题3、如图，在直三棱柱中，且，是，的交点，是的中点.（）求证：平面；（）求平面与平面夹角的大小【试题出处】2012年咸阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题【解析】()以C为原点，分别以CB、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由知， ，,，3分又，MN，MNCB，平面6分 () 作CHAB于H点，平面ABC平面，CH平面， 故平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，9
12、分，故平面夹角的大小为12分（注：此题若学生用传统方法作，请酌情给分）4、如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4，AB=AC，BAC=90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的大小为arccos，求：(1)该几何体的体积；(2)直线AD与平面ACC1A1所成角的大小.【试题出处】2012年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)【解析】连A1D，由题设知A1、D关于B1C对称，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=h，则A(0, 0, 0)，B(0, 2, 0)，B1(0, 2, h),D(2, 2, h)，=(2, 0, h)，=(0, 2, h)，2h2
13、+16=3h2h=4，(1)V=+=+=16+8p.(2)= (2, 2, 4)，平面ACC1A1的法向量=(0, 1, 0)，设直线AD与平面ACC1A1所成角为q，则sinq=q=，故直线AD与平面ACC1A1所成角的大小为.5、已知三棱锥的底面是直角三角形，且，平面，是线段的中点，如图所示.（）证明：平面；（）求平面与平面的夹角的余弦值.【试题出处】陕西省西安市八校2012届高三年级数学（理科）试题【解析】（）证明：因为，D是线段PC的中点，所以 （1）因为，所以平面可得（2）由（1）（2）得平面-6分（）解法一：以AP所在直线为z轴，AC所在直线x轴，过点A且与BC平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示
