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1、例题1：下列波函数中，哪些与描述同一状态？，例题2：设，为常数，求归一化常数A。解： （用高斯积分），取，则。例题3：设，求粒子的位置几率的分布，此波函数能否归一化？解：，即空间中任何位置发现几率相同都为1，且，故不能归一化，事实上例题4：设粒子波函数为，求在范围中找到粒子的几率。解：在范围内发现粒子的几率为，若只计范围内，不计y，z范围，发现粒子的几率，由概率论知识，上式应对随机变量y，z积分 。例题5:设用球坐标表示，粒子波函数表为， 求（1）粒子在球壳中被测到的几率，（2）在方向的立体角元中找到的粒子的几率。解：为在范围内发现粒子的几率。（1）只计范围内的几率，上式对积分（2）在方向的立
2、体角元中找到的粒子的几率为例题6：束缚态、非束缚态及相应能级的特点。解：束缚态 粒子在一定范围内运动，时，波函数趋于0，能级分立； 非束缚态 粒子的运动范围无限制，时，波函不数趋于0，能级连续分布。例题7：设粒子处于无限深势阱中，证明处于定态的粒子，。证明：处于该势阱中的粒子的波函数为例题8：设粒子处于二维无限深势阱中求粒子的能量本征值和本征波函数。如果，能量的简并度如何？解：哈密顿算符为，；，设波函数为，带入定态薛定谔方程，分离变量后有方程（1）的解为，；方程（2）的解为，粒子的总能量为粒子的波函数为。若，令且简并度为。例题9：各种不同区间的无限深势阱（1）（周世勋课本例题）一粒子在一维势场
3、中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：本征值为本征函数为（2）（周世勋课后习题2.3）一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S方程：在各区域的具体形式为：由于、方程中，由于，要等式成立，必须，即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程可变为令，得其解为根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得由归一化条件得由 因为，所以，可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为（3）一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：本征值为本征函数为（4）一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：本征值为本征函数为例题10：求三维谐振
4、子能级，并讨论它的简并情况。解：三维谐振子哈密顿量为本征方程及其能量本征量方程的解为其中，当N确定后，能量本征值也确定，但对应同一N值，有多种不同组合，相应于若干个不同量子状态，这就是简并。对于的组合方式数列表如下组合方式（组）00,1,2,3，NN+110,1,2,3，N-1N20,1,2,3，N-2N-1N01，确定了，也确定了，不再增加不同组合的组数。组合数即为简并度。s维各向同性谐振子能量为，简并度为例题11：荷电的谐振子，受到沿方向外电场的作用，其势场为求能量本征值和本征函数。解：思路：是在谐振子势上叠加项，该项是的一次项，二振子势是二次项。可以把势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的一维线性谐振子的结果。改写进行坐标变换，所以哈密顿量为新的薛定谔方程为，用已知结果得
