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1、三、切比雪夫低通滤波器,QDL,1、巴特沃思低通滤波器与切比雪夫低通滤波器的比较,巴特沃思低通滤波器的幅频特性，无论在通带与阻带内都随频率而单调变化，滤波特性简单。 在通带内误差分布不均匀，靠近频带边缘误差最大，当滤波器阶数n 较小时，阻带幅频特性下降较慢，与理想滤波器的特性相差较远。若要求阻带特性下降迅速，则需增加滤波器的阶数，设计该滤波器时所用元器件数量增多，线路也趋于复杂。 若将误差均匀地分布在通带内，就可以设计出阶数较低的滤波器。这种误差均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。,1、巴特沃思低通滤波器与切比雪夫低通滤波器的比较,三阶巴特沃思低通滤波器和切比雪夫低通滤波器
2、幅频特性,巴特沃思低通滤波器,切比雪夫低通滤波器,1、巴特沃思低通滤波器与切比雪夫低通滤波器的比较,切比雪夫滤波器是由切比雪夫多项式的正交函数推导出来的，采用了在通带内等波动，在通带外衰耗单调递增的准则去逼近理想滤波器特性。 在通带内是等波纹的，在阻带内则是单调下降的，称为切比雪夫型。 在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫型。,2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性,式中，是决定通带内起伏大小的波动系数，为小于1的正数；c为通带截止频率；Tn()是n阶切比雪夫多项式，定义为,2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性,n=2,n=3,n=5,滤波器阶数n为通带内等幅波动的次数，即等于通带内最大值
3、和最小值的总数,2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性,当 时, 在1与 之间等幅波动，愈小，波动幅度愈小。 所有曲线在 时通过 点。 当=0时，若n为奇数,则 =1；若n为偶数,则 ；通带内误差分布是均匀的。 当 时，曲线单调下降，n值愈大，曲线下降愈快。,2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性,型切比雪夫滤波器有三个参数需要确定：波动系数，通带截止频率c和阶数n。通带截止频率一般按照实际要求给定； 表示通带内最大损耗，由容许的通带最大衰减 确定。,3、切比雪夫低通滤波器的阶次,切比雪夫滤波器的衰减函数定义为,通带最大衰减 ，又称为通带波纹，定义为,波动系数为,3、切比雪夫低通滤波器的阶次,由滤波器的通
4、带截止频率c及通带内允许的最大衰减 和阻带下限截止频率 及阻带内允许的最小衰减 ，可以确定滤波器所需的阶数n。,3、切比雪夫低通滤波器的阶次,阻带内允许的最小衰减为,滤波器的阶次为,求出的n不一定是整数，应当对其取整再加上1,4、切比雪夫滤波器的极点分布,令j=s，代入切比雪夫低通滤波器幅频特性函数,归一化处理 ，将 记为,4、切比雪夫滤波器的极点分布,若极点,令,型切比雪夫低通滤波器幅度平方函数极点分布在s平面的椭圆上,5、切比雪夫滤波器的传递函数,求出幅度平方函数的极点后，取s左半平面的极点，即可求得滤波器系统传递函数,若n为奇数， ，则,若n为偶数，由于 ， 则为通带最小值，有,5、切比
5、雪夫滤波器的传递函数,切比雪夫低通滤波器归一化H（s）分母多项式D（s）,通带波纹0.5dB（,=0.34931）,例5-4 试求二阶切比雪夫低通滤波器系统函数，已知通带波纹为1dB，归一化截止频率 。,解：,因为 ，查切比雪夫多项式表，有,切比雪夫滤波器的幅度平方函数,令,幅度平方函数的极点,系统函数H(s)的极点由幅度平方函数的左半平面极点（ ）决定，由于n为偶数，有,四、模拟滤波器的频率变换,在实际工程中，需要设计高通、带通和带阻滤波器时，通常是将设计好的低通滤波器，如巴特沃思低通滤波器或切比雪夫低通滤波器等，在传递函数H(s)中通过频率变换，转换成为其他类型的滤波器。,1、低通滤波器转
6、换成高通滤波器,低通滤波器,高通滤波器,1、低通滤波器转换成高通滤波器,归一化低通到归一化高通的频率变换可表示为,归一化频率之间的关系为,将平面上的低通特性变换为平面上的高通特性,当L为01时，则H取值为1；当L为1时，则H取值为10。滤波器低通的通带变换到高通的通带，而低通的阻带变换到高通的阻带。,1、低通滤波器转换成高通滤波器,当低通特性变换为其它特性时，其衰减幅度与波动值均保持不变，仅仅是相应的频率位置产生了变换。,当给定高通滤波器的技术指标时，设计步骤:,1、低通滤波器转换成高通滤波器,对高通滤波器技术指标进行频率归一化处理。通常对巴特沃思滤波器以其3dB频率为频率归一化因子；对切比雪
7、夫滤波器以其等波动通带截止频率为归一化因子。 将高通的技术指标变换成低通的技术指标。 根据转换出的低通滤波器的技术指标，按照前面介绍的低通滤波器设计方法设计满足技术指标的低通滤波器。 对设计出的归一化低通滤波器的系统函数进行变换，得到归一化高通滤波器的系统函数。 将设计的归一化高通滤波器进行反归一化处理，得到实际的高通滤波器。,例55 设计一个巴特沃思高通滤波器，要求 时， ， ， 。,解: 对高通滤波器进行频率归一化，以fp为归一化因子，有,相应低通滤波器的归一化截止频率为,低通滤波器的技术指标为,设计出的归一化低通滤波器为3阶的巴特沃思滤波器，其系统函数为,由 ，归一化高通滤波器的系统函数
8、为,进行反归一化处理，得到实际的巴特沃思高通滤波器为,2、低通滤波器转换成带通滤波器,通带下限截止频率 通带上限截止频率 阻带下限截止频率 阻带上限截止频率,2、低通滤波器转换成带通滤波器,从归一化低通到归一化带通的频率变换比较复杂，最常用的公式为,将j代入上式，有,式中 、 表示低通和带通滤波器的频率变量， 、B分别表示带通通带中心频率和通带宽度。,2、低通滤波器转换成带通滤波器,带通的中心频率 通过频率变换变成低通的原点，它们之间的通带、阻带有着对应关系,例56 设计一个切比雪夫带通滤波器满足下列指标： （1）通带中心频率 （2）3dB带宽 （3）在通带 最大衰耗 （4）在阻带 最小衰耗,解： 将给定的指标转换为归一化低通指标。求得归一化低通通带边界频率为,求得归一化低通阻带边界频率为,切比雪夫低通滤波器的参数为,取阶数n=3。归一化三阶切比雪夫低通滤波器为,将带通变换式代入上式，求得六阶的切比雪夫带通滤波器系统函数为,3、低通滤波器转换成带阻滤波器,低通滤波器变换到带阻滤波器的变换关系式,式中 和 分别表示低通和带阻滤波器系统函数的频率变量； 和B分别是带阻的阻带中心频率和阻带宽度,作业,1、设计一个巴特沃思带通滤波器，其指标为 在通带 ，最大衰耗 在阻带 ，最小衰耗 2、设计切比雪夫高通滤波器，其技术指标为,
