《[考研数学】2002-数一真题、标准答案及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[考研数学】2002-数一真题、标准答案及解析（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2002 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析dx+1）xln2xedx1+e|= (0 1)=1.=xln2xln xe( )由方程 e+ 6xy + x1= 0 确定，则 y (0) =将方程两边对 x 求导，视 y 为 x 的函数，得（1）（2）再对 x 求导， y ，y2ey当 x = 0 时，由原方程知 y = 0,再以 x = 0 ， y = 0代入（1）式中得 (0) = 2.(0) = 0，再代入（2）yyyy + y2=y = x +1或y = p ，则dydp dp dyy= p,dx dx dy dx原方程可化为-作者姓名1 2= 0dyp = 0或 y
2、p+ p = 0dpdydp|y=，因此必有 yp+ p = 0 ，积分得x=0dydxpy = C ,即 y111y|=1x=0x=022dyydx1ydy =2y = x + C .22再由初始条件 y|=1，得C =1.故所求特解为2x=02y = x +1 或 y = x +1()= ( )+ + + +a x12 x22 x32 4x x2 4x x3 4x x 经正文变换1 1 2 34）已知实二次型 f x , x , x123x = Py ，可化标准形 f = 6y12, 则 a =()= (a x12 x22 x32 4x x2 4x x3 4x x3+)+f x , x ,
3、 x123112a 2 222 a6 0 0f = 6y12 所对应矩阵为 B = 0 0 0 .00 0根据题设知 A, B 为相似矩阵，所以 A, B 的特征值相同，可见 A 的三个特征值为 6，0，0.而-2 - 222= ( + ) ( ) 可见 a + 4 = 6,a 2 = 0,故有 a = 2详解 2】 由 A, B 为相似矩阵知，对应特征多项式相同，即E A = E B a 22 6 0 022a 4 a 2 ( + ) ( )2= 32 ()()()233a2+ 3 a2 4 a + 4 a 2 = 32a = 2()()5）设随机变量 X 服从正态分布N ,2 0 ；且二次
4、方程 y2+ 4y + X = 0无实根12答】详解】1y2+ 4y + X = 0无实根的充要条件是 4 X = = 41 P X41 P 4 4 X 1 P Y P -3 - =1= ( )xt21xdte224 =二、选择题1） 考虑二元函数 f x, y 的下面4 条性质：()()(00000()()处的两个偏导数连续；)处可微；0()()(0若用“P Q ”表示可由性质P 推出Q ，则有A）C）【】答】 应选（A）详解】 若 f x, y 在点 x , y 处的两个偏导数连续，则 f x, y 在点 x , y)处可微，()()()(00001n+ ( = L)且lim =1, 则级
5、数 (1)n 12）设un 0 n 1, 2,3,+nun u un 1n(A)发散（B）绝对收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定.【】【n详解】 lim =1, 知nun-4 - 11 nlim = lim = 0,unnn n un又原级数的前n 项部分和为 11111111Sn=+ + +L+ ( )n+11+u1u2 u2u3 u3u4un11=u1un+11可见有lim S = ，因此原级数收敛，排除（A），（D），再考虑nu1n 11 11 ( )n+1 1+=+uu +1uu +1nnnnn=1n=111nn +1因为 lim=lim=1, lim= lim=1,nnnn un+
6、1n11 11 , 均 发 散 ， 从 而+也 发 散 ， 故 级 数unun+1unn=1n=1n=1 11 ( )n+11+条件收敛，应选（C）unn=1=( )在(0,+)内有界且可导，则3）设函数y f x( ) =( ) =A） 当 lim f x 0时，必有 lim f x 0x+x+(x) = 0( ) =B）lim fx+x+( ) =00+x0+x( ) =( ) =D） lim f x 0 存在时，必有lim f x 0+x0+x0【】sin x2( ) =设 f x( ) =( ) ( +)内有界，由于, 则lim f x 0 ，所以 f x 在 0,x+x0-5 - 2
7、x2cos xsin x2sin x2(x) = 2 cos x2fxx2( ) ( +)可见 f x 在 0,( )( ) = 内可导，但 lim f x 不存在， lim f x 1 0，排除（A），（D）x+x0+( ) =( ) ( +)又设 f x sin x ，则 f x 在 0,(x) = lim cos x =1 0lim f00+x0+x0+x进一步排除（C），故应选（B）.【详解 2】(x)存在，设(x) = A 0,不妨设 A 0 ，直接证明（B）正确，用反正法，由题设lim flim fx+x+A则对于 = 0，存在 X 0 ，当 x X 时，有2A(x) A =f.2
8、AAA=A f(x) f (X )+ (x X )f2( ) ( +)于是 ，与题设 f x 在 0,( ) =内有界矛盾，故 lim f x0x+4）设有三张不同平面的方程 a x + a y + a z = b ,i =1, 2,3,它们所组成的线性方程组的i1 i2 i3 i【】-6 - a x + a y + a z = b2122232a x + a y + a z = b3132333系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为 2，由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（A）只有一个交点；（C），（D）无交点，因此只有（B）复合要求.( )
9、5）设 X 和 X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f x 和1 2 1( )( )f x ，分布函数分别为 F x 和 F x ，则21( )+ ( )f x 必为某一随机变量的概率密度.21( ) ( )B） f x f x 必为某一随机变量的概率密度.12( )+ ( )C） F x F x 必为某一随机变量的分布函数12( ) ( )D） F x F x 必为某一随机变量的分布函数.12【】+( )+ ( ) = (+)+ (+) = 因此可先排除（A），（C）f x f x dx 2 , F2 1,121ex2x, x 0( ) =10, x 0 0, x
10、0e3x , x 02( ) ( ) =f x f x1 20, x 0( ) ( )事实上，可检验 F x F x 却是满足分布函数的三个条件.12=( ) ( ) 三、设函数 f x 在 x 0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f 0 0, f 0 0, 若( )+ ( ) ( )af h bf 2h f 0 在 h 0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a,b 的值.详解 1】由题设，知【-7 - ( )+ ( ) ( )= 0h0h( )+ ( ) ( ) = ( + ) ( ) =a b 1 f 0 0.lim af h bf 2h f 0h0( ) ( )+ ( ) ( )( )+
