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1、 2002 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析dx+1)xln2xedx1+e|= (0 1)=1.=xln2xln xe( )由方程 e+ 6xy + x1= 0 确定,则 y (0) =将方程两边对 x 求导,视 y 为 x 的函数,得(1)(2)再对 x 求导, y ,y2ey当 x = 0 时,由原方程知 y = 0,再以 x = 0 , y = 0代入(1)式中得 (0) = 2.(0) = 0,再代入(2)yyyy + y2=y = x +1或y = p ,则dydp dp dyy= p,dx dx dy dx原方程可化为-作者姓名1 2= 0dyp = 0或 y
2、p+ p = 0dpdydp|y=,因此必有 yp+ p = 0 ,积分得x=0dydxpy = C ,即 y111y|=1x=0x=022dyydx1ydy =2y = x + C .22再由初始条件 y|=1,得C =1.故所求特解为2x=02y = x +1 或 y = x +1()= ( )+ + + +a x12 x22 x32 4x x2 4x x3 4x x 经正文变换1 1 2 34)已知实二次型 f x , x , x123x = Py ,可化标准形 f = 6y12, 则 a =()= (a x12 x22 x32 4x x2 4x x3 4x x3+)+f x , x ,
3、 x123112a 2 222 a6 0 0f = 6y12 所对应矩阵为 B = 0 0 0 .00 0根据题设知 A, B 为相似矩阵,所以 A, B 的特征值相同,可见 A 的三个特征值为 6,0,0.而-2 - 222= ( + ) ( ) 可见 a + 4 = 6,a 2 = 0,故有 a = 2详解 2】 由 A, B 为相似矩阵知,对应特征多项式相同,即E A = E B a 22 6 0 022a 4 a 2 ( + ) ( )2= 32 ()()()233a2+ 3 a2 4 a + 4 a 2 = 32a = 2()()5)设随机变量 X 服从正态分布N ,2 0 ;且二次
4、方程 y2+ 4y + X = 0无实根12答】详解】1y2+ 4y + X = 0无实根的充要条件是 4 X = = 41 P X41 P 4 4 X 1 P Y P -3 - =1= ( )xt21xdte224 =二、选择题1) 考虑二元函数 f x, y 的下面4 条性质:()()(00000()()处的两个偏导数连续;)处可微;0()()(0若用“P Q ”表示可由性质P 推出Q ,则有A)C)【】答】 应选(A)详解】 若 f x, y 在点 x , y 处的两个偏导数连续,则 f x, y 在点 x , y)处可微,()()()(00001n+ ( = L)且lim =1, 则级
5、数 (1)n 12)设un 0 n 1, 2,3,+nun u un 1n(A)发散(B)绝对收敛(D)收敛性根据所给条件不能判定.【】【n详解】 lim =1, 知nun-4 - 11 nlim = lim = 0,unnn n un又原级数的前n 项部分和为 11111111Sn=+ + +L+ ( )n+11+u1u2 u2u3 u3u4un11=u1un+11可见有lim S = ,因此原级数收敛,排除(A),(D),再考虑nu1n 11 11 ( )n+1 1+=+uu +1uu +1nnnnn=1n=111nn +1因为 lim=lim=1, lim= lim=1,nnnn un+
6、1n11 11 , 均 发 散 , 从 而+也 发 散 , 故 级 数unun+1unn=1n=1n=1 11 ( )n+11+条件收敛,应选(C)unn=1=( )在(0,+)内有界且可导,则3)设函数y f x( ) =( ) =A) 当 lim f x 0时,必有 lim f x 0x+x+(x) = 0( ) =B)lim fx+x+( ) =00+x0+x( ) =( ) =D) lim f x 0 存在时,必有lim f x 0+x0+x0【】sin x2( ) =设 f x( ) =( ) ( +)内有界,由于, 则lim f x 0 ,所以 f x 在 0,x+x0-5 - 2
7、x2cos xsin x2sin x2(x) = 2 cos x2fxx2( ) ( +)可见 f x 在 0,( )( ) = 内可导,但 lim f x 不存在, lim f x 1 0,排除(A),(D)x+x0+( ) =( ) ( +)又设 f x sin x ,则 f x 在 0,(x) = lim cos x =1 0lim f00+x0+x0+x进一步排除(C),故应选(B).【详解 2】(x)存在,设(x) = A 0,不妨设 A 0 ,直接证明(B)正确,用反正法,由题设lim flim fx+x+A则对于 = 0,存在 X 0 ,当 x X 时,有2A(x) A =f.2
8、AAA=A f(x) f (X )+ (x X )f2( ) ( +)于是 ,与题设 f x 在 0,( ) =内有界矛盾,故 lim f x0x+4)设有三张不同平面的方程 a x + a y + a z = b ,i =1, 2,3,它们所组成的线性方程组的i1 i2 i3 i【】-6 - a x + a y + a z = b2122232a x + a y + a z = b3132333系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为 2,由非齐次线性方程组解的判定定理知,此方程有无穷多组解,即三平面有无穷多个交点,对照四个选项,(A)只有一个交点;(C),(D)无交点,因此只有(B)复合要求.( )
9、5)设 X 和 X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 f x 和1 2 1( )( )f x ,分布函数分别为 F x 和 F x ,则21( )+ ( )f x 必为某一随机变量的概率密度.21( ) ( )B) f x f x 必为某一随机变量的概率密度.12( )+ ( )C) F x F x 必为某一随机变量的分布函数12( ) ( )D) F x F x 必为某一随机变量的分布函数.12【】+( )+ ( ) = (+)+ (+) = 因此可先排除(A),(C)f x f x dx 2 , F2 1,121ex2x, x 0( ) =10, x 0 0, x
10、0e3x , x 02( ) ( ) =f x f x1 20, x 0( ) ( )事实上,可检验 F x F x 却是满足分布函数的三个条件.12=( ) ( ) 三、设函数 f x 在 x 0 的某邻域内具有一阶连续导数,且 f 0 0, f 0 0, 若( )+ ( ) ( )af h bf 2h f 0 在 h 0 时是比 h 高阶的无穷小,试确定 a,b 的值.详解 1】由题设,知【-7 - ( )+ ( ) ( )= 0h0h( )+ ( ) ( ) = ( + ) ( ) =a b 1 f 0 0.lim af h bf 2h f 0h0( ) ( )+ ( ) ( )( )+