中考数学荟萃系列二十：中考创新应用题例说j

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1、 中考创新应用题例说2004 年是新课标课改实验区较大面积步入中考平台的一年。全国各地可谓百家争鸣、百花齐放。创新题型蓬勃兴起，一道道亮丽的风景令人耳目全新，为之振奋，给中考注入了新的活力。兹以两道图示应用题为例，予以说明。一. 对话式例 1. （江西省南昌市，2004 年）仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？分析：解答本题的关键是理解“阿姨”的对话第一句话说明饼干的单价小于 10 元，第二句话说明饼干、牛奶的单价之和大于 10 元，后面的几句话说明一盒饼干打 9 折与一袋牛奶的和只用 9.2 元（100.8）。据此可列出相等关系和不等关系，再结合右边

2、小孩的话“饼干的标价可是整数”可获解。解：设饼干的标价为每盒 x 元，牛奶的标价为每袋 y 元，则xy1019823().由（2）得 yx094.()把（4）代入（1）得：9018.x， 解 得由（3）综合得：8又x 是整数，x=9把 代入（4）得：9y201.（ 元 ）答：一盒饼干标价 9 元，一袋牛奶标价 1.1 元。说明：这是一道很有创新的好题，其一是形式新颖，将已知条件全部融于三人的对话之中，不落俗套，其二是贴近生活，给考生呈现的是一幅“生活小照”的画面，如身临其境；其三是体现了课改新理念和命题改革的方向。给学生提供了探索与交流的空间；其次是综合性强，本题将方程、不等式及整数解融于一体

3、，知识覆盖面广。总之，这实属中考数学试题的首创，令人惊叹命题者的匠心独运。二. 实物式例 2. （吉林省，2004）根据下图给出的信息，求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格。分析：观察两幅图，易知左图表示两件 T 恤衫和两瓶矿泉水共计 44 元，右图表示一件 T 恤衫和三瓶矿泉水共计 26 元，据此可列出二元一次方程组解答。解：设每件 T 恤衫 x 元，每瓶矿泉水 y 元，依题意得 2436y解得 xy02答：每件 T 恤衫 20 元，每瓶矿泉水 2 元。说明：本题打破文字型应用题常规，将已知条件通过图示直观地表现出来，形象生动活泼，易于考生接受，较好地检测了考生将图形语言、文字语言及符号语言相

4、互转换的能力和信息迁移的能力。以上两例体现了鲜明的新课程理念，它预示着中考命题改革的趋势，希望引起同学们的注意。中考数学新题型走向与分析1. 设计新情景的基础题例 1 （2003 年太原中考题）现规定一种运算： ，其中 、 为实ab*ab数，则 等于（ ）ab*()（A） （B） （C） （D ）2b222析解：这是一道考查同学们阅读理解能力的试题，题设规定了一种新的运算“*”，要求考生按照“*”的运算法则解决与之有关的计算问题：ab() abab()()22故应选（B）2. 崭露头角的新课程概念题例 2 （ 2003 年海南省中考题）如图 1 是一个正文体包装盒的表面展开图，若在其中的正方形

5、 A、B、C 内分别填上适当的数，使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在 A、B、C 内的三个数依次是（ ）图 1（A）0，-2，1 （B ）0，1，-2（C）1。0。-2 （D ）-2 ，0，1析解；本题以新课程中的“空间与图形”为背景、源于教材，略活于教材，可通过具体实践操作或发挥想象，就可得到答案（A ）3. 屡见不鲜的开放题例 3 （2003 年南通中考题）已知：如图 2，AB 为O 的直径，BD=OB，请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除 AO=OB=BD 外）；B0 图 2析解：这是一道难得的开放题，其答案可根据学习自己的理解来设计，提倡

6、鼓励学习积极探索、创新。答案为： 为O 切线； 等ACBCBD90;CDBA2（答案不唯一，只需写出其中 3 个即可）。4. 丰富多彩的跨学科试题例 4 （2003 年烟台中考题）阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数 对于自变量取值范围的任意 ，都有 ，yfx() xfxf()()那么 就叫做奇函数；如果 对于自变量取值范围内的任意 ，都有yfx()f()，那么 就叫做偶函数。fyfx()例如：，当 取任意实数时，fx()3 ，fxxx()()()333即 ，f因此 为奇函数；fx()3又如 ，当 取任意实数时，x，即 ，fxf()()fxf()(因此 是偶函数。问题（1）：下列函数中：

7、 ， .yx4yx21yx3yx1yx1奇函数有 ，偶函数有 （只填序号）问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数。析解：为了考查学习获取知识的能力，命题者有意将高中有关奇、偶函数的定义提供给学生，让学生通过自学来达到判断函数奇偶性的思维能力。从中培养学生未来学习的能力。答案为：（1）奇函数有、，偶函数有、（2）如奇函数 ，偶函数为 。yx3yx25. 正在加强的研究性试题例 5 （2003 年潍坊中考题）小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有 6 人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案。为了解决更一般的问题，小明设计了下列表进行探究：请你在图表

8、右下角的空格里填上你归纳出的一般结论。图 3析解：本题以研究握手次数为主要课题，要求学生既会实践操作，又会理论学习研究，事实上，只要考生稍微动点脑筋，就不难将握手问题转化为研究直线上的点构成线段的条数问题（这里，视一个人为直线上的一个点）。 结论为： 。nn()()13216. 推陈出新的应用性试题例 6 （ 2003 年济南中考题）星期天，数学张老师提着篮子（篮子重 0.5 斤）去集市买 10 斤鸡蛋，当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买 10 斤鸡蛋的个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得 10.55 斤，即刻她要求摊主退 1 斤鸡蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了大约

9、一斤鸡蛋呢（精确到 1 斤）？请你将分析过程写出来，由此你受到什么启发？（请用一至两句话，简要叙述出来）。析解：本题的取材来自我们的生活，给我们一种亲切感，它巧妙地把函数或方程的应用体现在我们的日常生活中，反映了数学的最大魅力广泛的应用性。是一个有创意的试题。（1）解法（一）设摊主称得鸡蛋的重量为 斤，鸡蛋的实际重量为 斤。xy不难发现鸡蛋的实际重量 （斤）是摊主称得重量 （斤）的正比例函数。yx篮子的实际重量为 0.5 斤，鸡蛋放入篮子后再一起称，增量为 10.5510=0.55（斤）。yx05.当 时， （斤）。1y109.109 = 1（斤）摊主少称了大约 1 斤鸡蛋。解法（2） 设摊主

10、称得 10 斤鸡蛋的实际重量为 斤。x根据题意，得 ，x05.解得 （斤）。91,摊主少称了大约 1 斤鸡蛋。（2）要求所叙述的内容能体现出数学在实际生活中的应用价值，有应用数学知识解决实际问题的意识，如：数学在我们身边，我们要学好数学，以维护自己的合法权益。综上，通过一些最新题型的分析预测，目的是揭示考题的本来面目，让学生适应题型的变化，克服难不可攻的畏惧心理，从而让学生胸有成竹，应对自对。复杂数学问题的思考路径历年中考试卷中至少有一道比较复杂的几何证明题或计算题，且大多是有关圆的问题。这些问题虽然复杂，但只要掌握了思考的方法，其实并不难。例 1. （2003 年天津市中考题）已知：如图 1

11、 所示，圆 O1 与圆 O2 外切于点 A，BC 是圆 O1 和圆 O2 的公切线，B、C 为切点。图 1（1）求证： ； （2）若 分别为圆 O1、圆 O2 的半径，且ABCr2、的值。r12， 求思考路径：（1）证明垂直的方法很多。对于相切两圆最先想到的辅助线是公切线，作出公切线后可发现 OA=OB，OC=OA ，从而 OA=OB=OC。由此想到，直角三角形斜边的中线的性质，进而想到逆定理。这就找到了证明的方法。当然，利用角的关系也可以证明。这里用到的基本定理有：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆周角定理推论 3：如果三角形一边

12、上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。证明：（1）过点 A 作两圆的内公切线交 BC 于点 O。OA、OB 是圆 O1 的切线，OA=OB 。同理 OA=OC。OA=OB=OC于是，BAC 是直角三角形，BACBAC90，（2）连结 OO1、OO 2 与 AB、AC 分别交于点 E、F。O、 是 的 切 线 ，1同 理 AC2根据（1）的结论 ，可知四边形 OEAF 是矩形，故有BEOF90连结 ，有 。O212 在 中 ，于 是又 是 圆 的 弦 切 角 ，在 中 ，RtOtARtOArrCBAORt12122121222.,anBACAttan2例 2. （2003 年湖北黄

13、石市中考题）中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学。1400 多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图 2 所示）。经测量，桥拱下的水平距拱顶 6m 时，水面宽 34.64m。已知桥拱跨度是 37.04m，试用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高（取）。14730346.，图 2思考路径：解决此问题的关键是根据赵州石拱桥的实物图画出几何图形。把实际问题转化为数学问题，用所学的数学知识分析问题，解决问题。这里用到的基本定理有：垂径定理，勾股定理。解：如图 3 所示，设桥拱所在圆的半径为 R。图 3在 RtOECRmOECEm中 ， ， ，()610()()6103282，解 得又 在 中 ， ，拱 高 tFAAFhROm8772() 许多中考题都源于课本，有的是课本上的例题，有的是变换了例题或习题的条件或结论，有的是几个例题或习题的组合，以上两题都是课本习题的演化。因此，解难度较大的习题首先应从研究课本习题入手，积累方法和经验。