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1、- 1 - 江苏省苏锡常镇四市江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 数数 学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 20195 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知集合 Ax|x0)的图象关于直线 x对称，则 的最小值为_ 3 2 9. 已知正实数 a，b 满足 ab1，则的最小值为_ 2a21 a 2b24 b 10. 已知偶函数 f(x)的定义域为 R，且在0，)上为增函数，则不等式 f(3x)f(x22)的解集为 _ 11. 过直线 l：yx2 上任意一点 P 作圆 C：x2y21 的两条切线，切点分别为 A
2、，B，当切线长最小 时，PAB 的面积为_ 12. 已知点 P 在曲线 C：y x2上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 1 2 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点若 OPOQ，则点 P 的纵坐标为_ 13. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，CAB90，AB2，以 AB 为直径在ABC 外作半圆 O，P 为半圆弧 AB 上的动点，点 Q 在斜边 BC 上若 ，则的最小值为_ AB AQ 8 3 AQ CP 14. 已知 e 为自然对数的底数，函数 f(x)exax2的图象恒在直线 y ax 上方，则实数 a 的取值范围是 3 2 _ - 3 -
3、 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 PABC 中，过点 P 作 PDAB，垂足为 D，点 E，F 分别是 PD，PC 的中点，且平面 PAB平面 PCD.求证： (1) EF平面 ABC； (2) CEAB. 16. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且. 3a c 2cos A sin C (1) 求角 A 的大小； (2) 若 cos(B) ，求 cos C 的值 6 1 4 - 4 - - 5 - 17. (本小题满分 14 分
4、) 某工厂拟制造一个如图所示的容积为 36 立方米的有盖圆锥形容器 (1) 若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积； (2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？ - 6 - 18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(ab0)的左、右顶点分别为 A1(2，0)， x2 a2 y2 b2 A2(2，0)，右准线方程为 x4.过点 A1的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D.直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G，直线 OG 与直线 A1D 交于点 H. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2)
5、若 HGA1D，试求直线 A1D 的方程； (3) 如果，试求 的取值范围 A1H A1P - 7 - 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)x2(2a)xaln x，其中 aR. (1) 如果曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； (2) 若函数 f(x)的极小值不超过 ，求实数 a 的最小值； a 2 (3) 对任意 x11，2，总存在 x24，8，使得 f(x1)f(x2)成立，求实数 a 的取值范围 - 8 - 20. (本小题满分 16 分) 已知数列an是各项都不为 0 的无穷数列，对任意的 n3，nN，a1a2a2a3an1an(n1) a
6、1an恒成立 (1) 如果， ，成等差数列，求实数 的值； 1 a1 1 a2 1 a3 (2) 已知 1. 求证：数列是等差数列； 1 an 已知数列an中，a1a2.数列bn是公比为 q 的等比数列，满足 b1，b2，b3(iN)求证：q 是整数，且数列bn中的任意一项都是数列中的项 1 a1 1 a2 1 ai 1 an - 9 - 2019 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 数学附加题数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前 两题计分解答时应写出必要的文字说明、
7、证明过程或演算步骤 A. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵 A，其逆矩阵 A1，求 A2. 2 1 0 a b c 0 1 B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为( 为参数)以坐标原点 O 为极点， x22cos ， y 32sin ) x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 上两点 M，N 的极坐标分別为(2，0)，(2，)，求直线 l 被曲 3 6 线 C 截得的弦长 - 10 - C. (选修 45：不等式选讲) 已知正数 a，b，c 满足 abc2，求证：1. a2 bc b2 ca c2 ab - 11 - 【必做题】 第
8、 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点 (1) 求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程； (2) 已知AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，求直线 l 的方程 23. 已知数列an中，a12，且 an1a an1 对任意 nN恒成立求证： 2 n (1) an1anan1an2a2a11(nN)； (2) an1nn1(nN) - 12 - 2019 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷(苏锡常镇苏锡常镇)
9、数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1. (0，1) 2. 1 3. 4. 8 5. 55 6. 7. 8. 9. 11 10. (2，1)(1，2) 11. 5 2 1 3 7 3 2 3 1 2 12. 1 13. 14. (2e1，0 2 5 3 15. 证明：在三棱锥 PABC 中： (1) 因为点 E，F 分别是 PD，PC 的中点，所以 EF 为PCD 的中位线，(2 分) 则有 EFCD.(3 分) 又 EF平面 ABC，CD平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(7 分) (2) 因为平面 PAB平面 PCD，平面 PAB平面 PCDPD，ABPD，AB平面 PAB，
10、 所以 AB平面 PCD.(11 分) 又 CE平面 PCD，所以 ABCE.(14 分) 16. 解：(1) 由正弦定理，且，(1 分) a sin A b sin B c sin C 3a c 2cos A sin C 得，(2 分) 3sin A sin C 2cos A sin C 则有sin A2cos A，即sin Acos A2，2sin(A)2， 33 6 故 sin(A)1.(4 分) 6 因为 A(0，)，则 A(，)，所以 6 6 7 6A，即 A.(6 分) 6 2 3 - 13 - (2) 在ABC 中，因为 A，则 B(0，)，B(，)，所以 sin(B)0. 3
11、2 3 6 6 5 6 6 因为 cos(B) ，所以 sin(B).(8 分) 6 1 4 6 1cos2（B 6 ） 15 4 在ABC 中，ABC，(9 分) 所以 cos Ccos(AB)cos(AB)cos(B)(10 分) 3 cos(B)cos(B)cos sin(B)sin 6 6 6 6 6 6 .(14 分) 3 2 1 4 1 2 15 4 15 3 8 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为 r 米，高为 h 米，母线为 l 米，侧面积为 S 平方米，容积为 V 立方 米，则 V36. (1) 由 r6，得 V r2h36，得 h3，(1 分) 1 3 所以 Srlr61
12、8.(2 分) r2h262325 又底面积为 r236(平方米)，(3 分) 故该容器的表面积为(1836)18(2)(平方米)(4 分) 55 答：该容器的表面积为 18(2) 平方米(5 分) 5 (2) 因为 V r2h36，得 r2，其中 h0， 1 3 3 36 h 108 h 所以 Srlr.(8 分) r2h2r4r2h2 1082 h2 108 h h2 1082 h2 108h 108 108 h2 h 记 f(h)h，令 f(h)10，得 h6.(10 分) 108 h2 216 h3 h3216 h3 当 h(0，6)时，f(h)0，f(h)在(6，)上单调递增(12
13、分) 所以，当 h6 时，f(h)最小，此时 S 最小(13 分) - 14 - 答：当容器的高为 6 米时，制造容器的侧面用料最省(14 分) 18. 解：(1) 由椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1(2，0)，A2(2，0)，右准线方程为 x4，得 a2，4，故 c1，b2a2c23.(2 分) a2 c 所以椭圆 C 的方程为1 .(3 分) x2 4 y2 3 (2) 设直线 A1D：yk(x2)(k0) ，则与右准线 x4 的交点 D(4，6k) 又 A2(2，0)，所以设直线 A2D：y3k(x2)，联立，得 解得 G(，)，(5 分) x2 4 y2 3 1， y3k（x2），)
14、 24k22 112k2 12k 112k2 则直线 OG 的斜率为 kOG . 6k 12k21 因为 OGA1D，故k1.又 k0，解得 k，(7 分) 6k 12k21 6 6 则直线 A1D 的方程为 y(x2)(8 分) 6 6 (3) 由(2)中可设直线 OG：yx，联立，得 6k 12k21 解得 H(，)(10 分) y 6k 12k21x， yk（x2），) 24k22 12k25 12k 12k25 联立，得解得 P(，)(12 分) x2 4 y2 3 1， yk（x2），) 68k2 34k2 12k 34k2 因为，所以(xH2，yH)(xP2，yP)，则 yHyP， AH AP f(k).(14 分) yH yP 12k 12k25 12k 34k2 34k2 12k25 1 12k294 34k2 1 3 4 34k2 - 15 - 因为 f(k)在(0，)上为减函数，(15 分) 所以 ( ， )(16 分) 1 3 3 5 19. 解：因为 f(x)x2(2a)xaln x，所以 f(x).(1 分) （x1）（2xa） x2 (1) 因为曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 1， 所以
