数学建模价格预测问题

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1、房价问题的数学建模 摘要房价是否合理，未来房价的走势等问题事关国民生计。本文选择一个具有代表性的城市，通过查找数据，分析相关资料，采用蛛网模型来分析当前中国房价是否鳄梨，并对四个不同类别的城市的房价分析，通过灰色系统理论和马尔科夫链理论对各个城市的房价进行了理论，并拟合了具体参数，使问题得到很好的解决。针对问题一：建立蛛网模型，对上海市的地价、房价等相关数据进行分析处理，利用公式：理想房价=（地价+建安成本）（1+税费率）得到理想房价，通过对理想房价和实际房价进行比较，得出当前的房价是不合理的。针对问题二：搜集北京、西安、郑州、苏州四个城市20062010年房价，通过灰色系统理论和马尔科夫链理

2、论对各个城市房价进行分析，利用MATLAB软件拟合出各个城市房价走势图及其函数，预测2011年各城市房价，得出北京24605.2元/平米、西安6304.8元/平米、郑州5445.1元/平米、苏州8510.1元/平米。针对问题三：通过问题一的相关数据了解影响房价的主要原因，针对这些原因，向政府提出一些拙见。针对问题四：通过问题一中房价的合理性，问题二中房价的走势，就房价对未来经济发展产生的影响作出合理分析。【关键词】房价 蛛网模型 灰色系统 马尔科夫链 预测数据拟合 一、问题重述1.1 问题背景房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福

3、利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人，地方政府官员，到开发商，专家学者，普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理，未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。1.2 问题提出问题一：通过收集并分析几类城市的建筑成本和居民收入等与房价密切相关的数据，建立一个城市房价的数学模型，进而判断现在房价的合理性。问题二：选取其中某个具有代表性的城市，根据其调查数据对该城市的房价未来走势问题进行定量分析。问题三：根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施。问题四：通过对房价未来走势的预测，来探讨其可能对经济发展产生的影响，并进行定量分

4、析二、问题分析2.1 问题一分析本问是对房价的合理性进行评估，房价的合理性可以从不同的角度进行判断，从开发商的角度，合理房价与利润有关，而对购买者而言，合理房价与居民住宅负担能力有关。我们可以从以下几个方面对房价的合理性做出判断：1理想房价与实际房价的比较；2房价与当地居民的收入。通过这两各方面的比较，我们可以的出房价的合理性与否。首先通过对收集的数据进行处理分析找出影响房价的主要原因，并根据这些因素之间的关系确立变量，建立相关的数学模型，其次，对分析结果进行判断，看结果是否合理。通过以上准备，我们发现这是一个多元线性回归模型。2.2问题二分析本问是对房价的走势进行预测和估计。房地产价格的高低

5、社会生活中多方面的经济利益，也是百姓生活中比较多,比较重的问题之一。较为准确地预测未来房地产的价格，对社会经济发展和人名生活极其重要，可以为经济决策提供参考。故其研究意义相当重要。 首先，我们根据题目，需要确定具体研究那一座城市的房价情况，然后再继续考虑接下来的数据挖掘等步骤。因此，我们需要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上通过建立模型，求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。 经分析，我们采用灰色马尔科夫结合预测模型，可大幅度提高随机波动性大小的非平稳数据序列的预测精度，这是因为灰色GM(1,1)模型参数的最小二乘法求解结果对变化非平稳的原始数据序列的拟合度较差，预测

6、精度差。马尔科夫概率矩阵预测是以随机变化的动态系统为研究对象，根据状态之间的转移概率预测未来系统的发展趋势，故适用于随机波动性大的非平稳数据序列的预测。因此将两者结合。2.3问题三分析通过问题1的分析，我们可以得到房价是否合理的一个标准，而一个房价是否合理关系到消费者的购买力。我们需要对得到的数据进行定量分析，确定影响房价不合理的具体因素，从而进行宏观调控，使房价趋于合理，让市场房的供需求关系达到一个相对平衡的状态，从而维持房价的稳定，满足消费者当前的购买能力。2.4问题四分析本问是探讨房价未来走势对经济发展的影响，房地产业承载着“拉动经济增长”和“实现百姓安居”双重产业使命，房地产未来走势对

7、社会经济发展和人民生活都有极其重要的作用。首先，通过对房价的合理性判断和房价未来走向的预测，探讨房价对相关产业的影响，从而得出其对经济发展的影响，并对此进行定量分析。三、模型的建立与求解3.1 模型一3.1.1 问题一的模型假设：假设一：房屋建造成本用房屋造价来代替假设二：城市消费状况用人均可支配收入来代替假设三：房地产价格通过房屋均衡价格来的代替假设四：所收集的数据不考虑政策等各种因素的干扰假设五：容积率在每个周期维持不变假设六：需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响假设七：供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。假设八：理想房价=（地价+建安成本）（1+税费率）假设九：供需

8、平衡指：供应量=需求量3.1.2 问题一的符号说明： P：房价（元/平方米） ： 理想房价： 第n个周期的房价 （n=1,2,3）： 第n个周期的预测房价（n=1，2，3）： 需求曲线和供应曲线的交点处的房价A： 地价（元/平方米）B： 建安造价（元/平方米）： 税率（%）： 容积率（%）： 第n个周期，居民对房子的需求量（n=1，2，3）： 第n个周期，地产商的供应量（n=1，2，3）3.1.3 问题一的模型建立 通过分析我们知道一下几个关系，成本决定理想价格，理想价格和放假决定需求量，理想价格和地产商的预测价格决定了供应量，需求量和供应量游共同决定力房价。那么我们来求理想房价,根据理想房的

9、求法得出其表达式为： =(1)令=a，=b，a和b均不为正常数，择可得： =(2)从公式（1）和（2）中可以看出，地价与理想房价之间为线性正相关关系，同时地价与理想房价之间影响的程度因建安成本，税率和容积率的不同而不同，再者我们可以笼统地说理想房价就是成本费用的具体表现，根据假设，成本不变，所以理想房价也不变。 下面我们来分析供需关系：1 . 首先建立一个需求函数。根据假设六：需求量会受本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，需求量越多。我们用取极限法来验证假设的合理性，取实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大；反之，比值为零，需求

10、量自然就大。由此说明我们假设正确。现列出需求方程如下： 其中和为正常数，为理想价格，需求函数斜率为。2. 接着建立一个供应函数。根据假设七：供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，供应量越少。因为房屋的供应量是由地产商所决定的，而地产商是以盈利为目的的，所以地产商们总会前阶段的价格数据来估计下一阶段的价格，再将预测的价格与成本比较，最终确定供应数量。由此可知假设合理。下面我们来给出预测房价的模型。 模型为：表明：本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量，是修正系数。比较方法：预测价格与成本的比值越大，利润越高，供应量越大。那么本期的

11、供应量为：其中和是正常数，为理想价格，供应函数斜率为近似为3. 根据以上所得结论我们便可建立一个供需平衡方程如下：即=3.1.4 问题一的模型求解 设方程的一个特解为X，将其带入方程后得到等式 得到： 接下来求通解： （齐次方程） （特征方程）即为： 很显然，=0是其中的一个解。整理得： 若： 则解得，为： = 线性差分方程稳定的条件：方程的特征根均在单位圆内。即，时，则为稳定点，即，趋于；否则，渐渐远离。方程的解的一般形式为：其中和是两个任意常数视情况而定。将 ，带入得由以上分析过程我们便得到了房价的表达式： 下面通过一组实际数据，来看看理想房价与实际房价之间的差距，我们以上海为例。以下是我

12、们收集到的数据：20062007200820092010人均GDP1227815641186542174526690实际房价66278627140991916820186地价25223058308930963353作出其条形图如下：下面我们来求理想房价：根据假设： 理想房价=（地价+建安成本）（1+税费率） 由网上查得上海税费率为1.02%，建安成本约为1200元平米。求得理想房价（元平米）为：20052006200720082009理想房价37674309434043484607为了更直观的看出理想房价与实际房价的差距，我们做出折线图如下：至此，整个过程的求解结束。3.1.5 模型一的不足与

13、改进：1. 影响房价的因素有很多，在这个模型的建立时，我们只考虑了建房成本、居民收入和低价的影响，而忽略了很多看似不重要的因素。但这些因素对房价的高低确实有影响。（1）房屋的结构、质量和功能都是影响房价的重要因素。由于使用不同的建筑材料，不同的施工机构，施工方法和施工技术力量而形成价格差异；（2）房屋的层数、层次和朝向都会形成价格差异；（3）环境因素，如市区、郊区，交通状况，文化设施等等都会影响房价。2.改进措施:（1）综合考虑城市的各方面因素，如考虑建成面积、流动人口、交通环境等因素；（2）考虑多个具有代表性的城市进行研究3.2模型二3.2.1问题二的模型假设：假设一： 选取的数据是各城市2

14、005-2010年房产的完全均价假设二： 数据的波动在合理的范围内假设三： 在讨论房价受到相关因素影响时，不考虑非正常需求引起房价上涨的因素，如炒房假设四： 在讨论房价受相关因素的影响时，不考虑由不规范的的房地产秩序造成的房价的变化假设五： 忽略消费成本如交通费用物业费用停车费用等对房价的影响3.2.2问题二的符号说明：X: 年份： i=1，2，3，4分别表示北京，西安，郑州，苏州每平方米的房地产价格3.2.3问题二的模型建立：根据灰色系统理论，时间趋势项的灰色微分方程为：式中a为发展系数，其大小反映了原始数据序列的增长速度；u为内生变量；算法：1.1 设，n为非负原始数据序列，进行一次累加生成得：，n (1)1.2 确定数据矩阵B,Q （2） （3）1.3 计算参数（最小二乘法） (4)1.4 确定GM(1.1)模型的时间相应方程 （5）令 则其中Y（k）为预测值2.1 划分状态以预测曲线Y(k)为基准，在其上下两侧作m条与之平常型的曲线（为常数，m，视具体情况而定），每相邻两条曲线之间的区域称为一个状态，将符合马氏链特点的非平稳随机序列划分