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1、数学建模的 微分方程方法,主讲人：杨和,2017.7.24-25,许多有趣的实际问题都包含着随时间发展的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、预测和控制实际对象了。,五步方法、灵敏性分析和稳健性分析等基本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这些方法。,一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。数值方法常
2、常不能对系统的行为提供一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的方法。,目录：,1 五步方法 2 灵敏性分析 3 稳健性分析 4 薄膜渗透率的测定 5 香烟过滤嘴的作用 6 其他实例,本节简要介绍用数学建模解决问题的一般过程，称之为五步方法。 1. 提出问题 2. 选择建模方法 3. 推导模型的数学表达式 4. 求解模型 5. 回答问题,1 五步方法,例1.1 一头猪重200磅,每天增重5磅,伺养每天需花费45美分。猪的市场价格是每磅65
3、美分，但是每天下降1美分。求出售猪的最佳时间。,注：1磅 = 0.454千克,而问题需要用数学语言表达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。,第一步是提出问题，,首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单位。 然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或不等式。 最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式。 变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了完整的问题。,在例1.1中，变量包括: 1. 猪的重
4、量 w (磅) 2. 从现在到出售经历的时间 t (天) 3. t 天内伺养猪的花费 C (美元) 4. 猪的市场价格 p (美元/磅) 5. 售出生猪所获得的收益 R (美元) 6. 最终获得的净收益 P (美元) 还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。,下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，我们要考虑问题中的常量的作用,把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。,变量：t = 从现在到出售的时间(天) w = 猪的重量(磅) p = 猪的价格(美元/磅) C = 饲养 t 天的花费(美元) R = 售出猪的收益(美元) P
5、= 净收益(美元) 假设：w = 200+5t p = 0.65-0.01t C = 0.45t R = pw P = R-C t 0 目标：求P的最大值,图1-1 售猪问题的第一步的结果,注意：第一部分三个阶段(变量、假设、目标)的确定不需要按特定的顺序。,现在我们已经有了一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建
6、模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。,第二步是选择建模方法。,设 在 处是可微的，如果 在 处达到极大或极小, 则 。 细节可参阅微积分入门教材。,建模方法：,第三步是推导模型的数学表达式。,如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便。,P = RC = pw 0.45t = (0.65 0.01t)(200 + 5t) 0.45t,记 y = P 为目标变量，x = t 为自变量，则问题转化为在集合S=x:x0上求下面函数的最大值：,y = f(x) = (0.65 0.01x)(20
7、0+5x) 0.45x.,即要把第一步,得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。,第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。,如本例中即对 y = f(x) = (0.65 0.01x)(200+5x) 0.45x 在区间 x0 上求最大值。,如图1-2可知，y = f(x) 关于 x 是二次的曲线图，易得,f (x) = 0.1x+0.8,则在点 x = 8 处 f (x)=0.,由 f 在区间(, 8)上单调递增,而在区间(8,+)上单调递减。,故点 x = 8是全局最大值点。且有 f(8) = 133.20, 从而点(x,y)=(8
8、, 133.20)是 f 在整个实轴上的全局最大值点,也是区间 x0 上的最大值点。,第五步回答问题，,由第四步，我们得到的答案是在8天之后，可以获得净收益133.20美元。只要第一步的假设成立，这一结果就是正确的。,相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我们将在下一节进行讨论。,即回答第一步中提出的问题,“何时售猪可以达到最大净收益？”,第一步 提出问题,(1) 列出问题涉及的变量，包括恰当的单位; (2) 注意不要混
9、淆了变量和常量; (3) 列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式; (4) 检查单位从而保证你的假设有意义； (5) 用准确的数学表达式给出问题的目标。,第二步 选择建模方法,(1) 选择问题的一个一般的求解方法； (2) 一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定的熟悉程度； (3) 要针对不同问题决定要用的建模方法。,本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成如下图表(图1-3), 以便以后参考。,(2) 有可能需要统一第一、二步中的变量名； (3) 记下所有补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。,第四步 求解模型,第五步
10、回答问题 (1) 用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述； (2) 避免数学符号和术语; (3) 能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。,第三步 推导模型的公式,(1) 将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法需要的形式；,(1) 将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式; (2) 注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义; (3) 采用适当的技术, 计算机代数系统、图形、数值计算的软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误。,1.2 灵敏性分析,1.问题的提出,(2) 灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关。,(3) 上一节用售猪
11、问题说明了建模的五步法。图1-1列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于数据是由测量、观察有时甚至完全是猜测得到的，故要考虑数据不准确的可能性。,(1) 上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开始, 但很难保证这些假设都是正确的，因此要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，即灵敏性。,在这个例子中，我们可以看出： 可靠性高的数据： 生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等，易测量，确定性大；, 可靠性低的数据： 猪的生长率 g 和价格的下降速率 r .,2. 最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性,前面我们假定 r = 0.01美元/天，现
12、在假设 r 的实际值是不同的，对几个不同的 r 值，重复使用前面的求解过程, 我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所了解。,即给定r，对 y = f(x) = (0.65 rx)(200 + 5x) 0.45x 关于 x 求导，令 f (x)=0，可得相应 x 值。,表1-4给出了选择几个不同的 r 值求出 x 的计算结果。,(1) 粗分析,表1-4 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性,将上表1-4中的数据绘制在如下图1-5中。,易见，x 对 r 是很敏感的。,(2) 系统分析,将 r 作为未知的参数，仍按前面的步骤求解:, 出售价格：p = 0.65 rt, 目标函数：y
13、 = f(x) = (0.65 rx)(200+5x) 0.45x = 130 + 2.8x 200rx 5rx2, 求导： f (x) = 2.8 200r 10rx, 使 f (x)=0的点为 x = (7 500r)/ 25r,若要 x0 ，只要 0 0.014 ,在0,+)上都有 f (x)0，最佳售猪时间为x=0。 图1-6给出了r = 0.015的情况,3. 最佳售猪时间x关于生长率g的灵敏性,前面我们假定 g = 5 磅/天,一般地,我们有如下步骤:, 出售重量：w = 200 + gt, 目标函数：y = f(x) = 0.65 0.01x)(200+gx) 0.45x =13
14、0+0.65gx 2.45x 0.01gx2, 求导： f (x)= 0.65g 2.45 0.02gx, 使f (x)=0的点为 x = 5(13g 49)/ 2g,若要 x 0, 最佳售猪时间可由 x = 5(13g-49)/ 2g 给出, 图1-7给出了最佳售猪时间和生长率g之间的关系。,4. 灵敏性的相对改变量,(1) 意义： 相对改变量比绝对改变量更自然且更实用。将灵敏性数据表示成相对改变量或者百分比的形式，会使模型更加直观。 例如：r 的10%下降导致了x的39%的增加，g 的10%下降导致了 x 的34%的下降。,(2) x 对 r 的灵敏性:,对售猪问题中, 由x = (750
15、0r)/ 25r 可得, 在点 r = 0.01, 有,即若 r 增加10%,则导致了x 的35%下降.,即 r 对 x 的弹性,(3) x 对 g 的灵敏性:,对售猪问题中，由x = 5(13g 49)/ 2g可得，在点 g = 5，有,若 g 增加10%,则 x 上升30.625%, 即多等侍约30%的时间.,即 g 对 x 的弹性,注意: (1) 灵敏性分析的成功应用要有好的判断力,即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分析,要选择较大不确定的参数; (2) 对灵敏性的解释依赖于参数的不确定程度; (3) 原始问题中数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度。如售猪问题中, 猪的生
16、长率 g 比价格下降率 r 更可靠。,1.3 稳健性分析,1. 关于稳键性,(1) 稳键性： 一个数学模型不完全精确，但由其导出的结果仍是正确的，我们称这个模型有稳键性。,(2) 研究的理由：实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使建立一个完美的精确的模型，也可能采用较简单和易于处理的近似方法。,(3) 数据假设与其它假设：灵敏性分析的过程是一种根据对数据提出的假设来评估模型稳键性的方法。在提出的问题中，还有其它假设需要检查。为了数学处理的方便和简化的目的，常要做一些假设，建模者有责任考察假设是否太特殊，以至于导致建模结果变得无效。,(4) 对售猪问题：图1-1列出了全部假设，除了数据的取值外，主要的假设是猪的重量和价格都是时间的
