数理方程中典型方程和定解条件的推导

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1、数学物理方法,一些典型方程和定解条件的推导,第一章,Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions,思路,数学物理方程与特殊函数,一. 均匀弦的横振动方程的建立,二. 传输线方程(电报方程)的建立,三. 电磁场方程的建立,四. 热传导方程的建立,提要：,五. 举例,数学物理方程的建立：,从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。, “一语道破！”,适用范围： 这是从事科学研究的基本 方法与路径。,第一章 一些典型方程和定解条件的推导,1

2、.1 基本方程（泛定方程）的建立,物理模型 （现象、过程）,数学形式表述 （建立偏微分方程并求解）,目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。,步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。,不含初始条件 不含边界条件,物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,任意截取一小段，并抽象性夸大。,弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。

3、,一. 均匀弦的横振动方程的建立,X,1、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T ,隔离物体法,X,1、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T ,(1),(2),马克思在数学手稿中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子y 和分母x 都被扬弃了，就是说，它们都消失为 0 ，从而有限大小的 x 和 y 都被克服，差商,但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。

4、,我们记扬弃了的（或消失了的）,那末，导数就是,从运动的观点看导数的定义,导数,关于函数的某种形式的极限 （实质）,函数在某点上的变化率 （数学结构）,某点上切线的斜率 （几何意义）,“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅 表明状态，并且也表明过程：运动。” 摘恩格斯.自然辩证法,3、忽略与近似,(1),(2),ds,T,T ,o, 对于小振动：,所以有：,3、忽略与近似,(1),(2),对于小振动：,于是（1）式变为：,代入（2）式变为：,一般说来， ， 将 g 略去，上式变为,上式实际上可以明确表示为：,令 ，于是有：,一维波动方程,4、整理化简,L,二. 传输线方程(电报方程)的

5、建立,现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。,对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。,物理状态描述:,设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为 dx.,电容元件：,电感

6、元件：,换路定理:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,电路准备知识,与同学们商榷的几个问题：（P4-5） （1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？ （3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？,”是否合理？,“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即,梁昆淼先生的做法：,“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以 R，L，C，G。于是,亦即,亦即,将 作用于第一式, 作用于第二式,两结果相减,就消去了 而得 的方程,同

7、理,消去 ,得到 的方程,设某时刻 t ，对应关系如下： 左端： ； 右端:,输入端,输出端,参阅：丘关源主编电路P426-430，第十八章，均匀传输线。,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,流入,流出,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,整理后得到：,相对于函数的变化率，略去无穷小量dx ,得,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,(1.4),(1.5),基本电磁场量 场的物质方程 Maxwell方程,电场强度 磁场强度 电感应强度 磁感应强度,介质的介电常数 导磁率 导电率,传导电流的面密度 电荷的体密度,Vector dif

8、ference operator,三. 电磁场方程的建立,目标: 利用上述关系,分别解出 、 。,由,将 代入上式，得,对上式两边求旋度， 得,再将 代入上式，得,这是一个关于磁场强度的二阶微分方程,方法之一,为进一步化简，利用 Hamilton 算子的运算性质,磁场强度、磁感应强度的散度为零。,如法炮制，可得关于电场强度的方程,如果介质不导电（=0）， 上述方程简化为：,三维波动方程,将 代入上式，得,目标: 建立关于电位 u 的方程 由电感应强度 与电场强度 的定义知：,（电荷体密度）,而电场强度与电位之间的关系，由下式确定,由此可得：,依据Hamilton 算子的运算性质：,这个非齐次方

9、程称为泊松（Poisson）方程,若静电场是无源的，即 ，上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程,上式可写成,方法之二,数学准备知识,静电场方程泊松 (Poisson) 方程,方法之三,物理模型: 均匀且各向同性的导热体, 在传热过程中所满足的微分方程 .,研究对象: 热场中任一闭曲面 S ,体积为 V,热场,V(体积),S(闭曲面),t 时刻, V 内任一点 M(x,y,z) 处 的温度为 u(x,y,z,t).,M,ds,数学表述为：,四. 热传导方程的建立,物理规律: 由热学的(Fourier)实验可知: dt 时间之内,流经面元 ds 的热量 dQ, 与时间 dt

10、 成正比； 曲面面积 ds 成正比； 温度 u 沿曲面法方向 的 方向导数 成正比。,关于双侧曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲线如图所示,小常识,M,ds,V(体积),S(闭曲面),热场,M,ds,V(体积),S(闭曲面),热场,数学表述为：,必然等于 V 内各点所吸收的热量(热量守恒

11、),上式中的 ，在热学中的意义？,为何上式左边的“”号又不见了？,数学处理：由于 S 为闭曲面，假设 u(x,y,z) 具有一阶连续偏导数, 那么 依据奥高公式（高斯公式）,因此有：,由于 t1 , t2 以及区域 V 的任意性 , 且被积函数为连续, 因此有,若令: , 那么上述方程可写为,三维热传导方程,讨论:,(1). 若 V 内有热源, 强度为 F(x,y,z,t) ,则热传导方程为,其中,(2). 若导热体为一根细杆 , 则,(3). 若导热体为一薄片 , 则,(4). 若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态) , 则,与之对应有,稳恒温度场内的温度满足Laplace方程.,(5). 在

12、研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过 程时 , 若扩散系数为常量，那么所导出的 扩散方程，形式上与热传导 方程相同。 即,一. 均匀弦的横振动方程,二. 传输线方程(电报方程), 一维波动方程, 高频传输线方程,三. 电磁场方程, 三维波动方程,四. 热传导方程,(场点 t 时刻的温度分布), 三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),1.2 初始条件与边界条件,所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。,从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；

13、换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。,一、初始条件系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。,（1）弦振动,（2）热传导,特别说明：Poisson 方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关， 可不提初始条件。,列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明 整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！,二、边界条件具体物理问题的边界约束状态。,以弦振动为例，弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类,右端点在振动过程中始终保持不动。,（1）固定端（右端）,（2）自由端（右端）,右端点在振动过程中不

14、受 u 方向的外力，从而这 个端点在位移方向上的张力为 0。,（3）弹性支承端,又如热传导问题：,本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。,第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在 边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了 u 与un 在边界上值之间的某个线性关系，如,1.3 定解问题的提法,1. 二阶线性偏微分方程的解,二阶线性偏微分方程的最一般形式为（n 个自变量）,对于只有两 个自变量的情况，上式则变化为,（1.33）,（1.34）,线性偏微分方程（1.33）的重要特征之

15、一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。,结论：如果一个函数 u ，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程， 使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。,2. 几个名词简介,3. 定解问题的稳定性与适定性,物理问题“翻译”为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！,（1）解的存在性定解问题是否有解。,（2）解的唯一性是否只有一个解。,（3）解的稳定性定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。,方法：试算+实验,本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。,“+”拟合,上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。,方法之二,设有空间两点，若以 M1为始点，另一点 M2为终点的线段称为有向线段.,通过原点作一与其平行且同向的有向线段