数据结构 数组与广义表

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1、第五章 数组和广义表,1,第五章 数组和广义表,本章前讨论的线性结构数据元素都是非结构的原子类型，元素值不可再分。本章讨论了两种数据结构数组和广义表。作为线性表的扩展，表中的数据元素也是一种数据结构。 数组这种数据结构可以看成是线性表的推广。 广义表是另一种推广形式的线性表，是一种灵活的数据结构，在许多方面有广泛的应用。,2,知识结构图,数组与广义表,数 组,广义表,类型定义,表示方法,稀疏矩阵,特殊矩阵,存储结构,逻辑结构,应用,压缩存储,各种运算,3,5.1 数组,数组是n(n1)个相同数据类型的数据元素a0,a1,a2,.,an-1构成的占用一块地址连续的内存单元的有限序列。,数组中任意

2、一个元素可以用该元素在数组中的位置来表示，数组元素的位置通常称作数组的下标。,4,5.1.1 数组的概念及其与线性表的关系,由定义知，n维数组中有b1b2 bn个数据元素，每个数据元素都受到n维关系的约束。 直观的n维数组 以二维数组为例讨论。将二维数组看成是一个定长的线性表，其每个元素又是一个定长的线性表。 设二维数组A=(aij)mn，则 A=(1，2，p) (p=m或n) 其中每个数据元素j是一个列向量(线性表) ： j =(a1j ，a2j ，amj) 1jn 或是一个行向量： i =(ai1 ，ai2 ，ain) 1im 如图5-1所示。,5,6,n维数组的特点,每个数据元素都受着n

3、个关系的约束； 在每个关系中，元素 (0=ji=bi-2)都有一个直接后继; 数据元素都必须属于同一数据类型; n=1时，退化为定长的线性表； n维数组可以看成是线性表的推广。 数组一旦被定义，则维数已定，对于数组的操作只有存取元素和修改元素。(一旦建立了数组，数组中的元素个数和元素之间的关系就不再发生变动) 数组是多维的结构，而存储空间是一个一维的结构。（存储时需要一个次序约定）,7,5.1.2 数组的顺序存储结构,数组的实现机制,8,行向量 下标 i 页向量 下标 i 列向量 下标 j 行向量 下标 j 列向量 下标 k 二维数组 三维数组,9,数组的顺序表示-小结,n维数组的特点: 数据

4、元素同属于一种数据类型； 数组一旦被定义，则维数和各维长度不能改变； 数组操作只有引用型操作，没有加工型操作； 数组是多维结构，但存储空间是一维结构。 数组顺序表示的特点 存储单元地址连续（需要一段连续空间） 存储规则（以行（列）为主序）决定元素实际存储位置 随机存取 存储密度最大（100%）,10,5.2 矩阵的压缩存储,在科学与工程计算问题中，矩阵是一种常用的数学对象，在高级语言编程时，通常将一个矩阵描述为一个二维数组。这样，可以对其元素进行随机存取，各种矩阵运算也非常简单。 对于高阶矩阵，若其中非零元素呈某种规律分布或者矩阵中有大量的零元素，若仍然用常规方法存储，可能存储重复的非零元素或

5、零元素，将造成存储空间的大量浪费。对这类矩阵进行压缩存储： 多个相同的非零元素只分配一个存储空间； 零元素不分配空间。,11,5.2.1 特殊矩阵的压缩存储,1.对称矩阵 n阶矩阵A中元素满足性质aij=aji (1i,jn)。,（即aij=aji,1=i,j=n）,LTA0n(n+1)/2-1,k= 0 1 2 n(n+1)/2-1,12,13,k的含义：按行优先，是第k个（从0开始）,i=3,j=2,k=4,公式的推导（下三角） i=3，j=2 则前面有一个i-1行的完整三角形，共有元素 (1+i-1)(i-1)/2 = i(i-1)/2个 另外，同一行，前面还有j-1个元素 所以，k =

6、 i(i-1)/2+j-1,14/50,2、三角矩阵,以主对角线划分， n阶三角矩阵有n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵两种。 n阶上三角矩阵的下三角（不包括主对角线）中的元素均为0（或常数）。n阶下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为0（或常数）。 注：在大多数情况下， n阶三角矩阵常数为零。,下三角矩阵元素ai j保存在向量sa中时的下标值k与（i,j）之间的对应关系是：,15,5.2.2 稀疏矩阵的压缩存储,稀疏矩阵：设m行n列的矩阵含t个非零元素，则=t/(m*n)称为稀疏因子，通常认为 0.05 的矩阵为稀疏矩阵。,(1)、稀疏矩阵 矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素个数。 (2)

7、、稠密矩阵 一个不稀疏的矩阵。 (3) 、稀疏矩阵压缩存储方法 只存储稀疏矩阵中的非零元素，实现方法是:将每个非零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示，则每个稀疏矩阵可用一个三元组线性表来表示。,16,1、三元组顺序表 稀疏矩阵和对应的三元组线性表,若把稀疏矩阵的三元组线性表按顺序存储结构存储，则称为稀疏矩阵的三元组顺序表。,17,三元组表表示的稀疏矩阵转置,18,18,稀疏矩阵的转置 Tij= Mji,19,稀疏矩阵用三元组表示的转置,行数和列数交换 i、j的值相互交换 重排三元组之间的次序,20,用三元组表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵T,M,T,1.行数和列数交换，总个数不变: T.m

8、= M.n; T.n = M.m; T.t = M.t; 2.让q定位T中的第一条记录: q=1;,6 5 6,21,M,T,3.让col取M的每一列: for(col=1; col=M.n; col+) 4.让p扫描三元组M的每一条记录: for (p=1; p=M.t; p+),6 5 6,col = 1,22,M,T,6 5 6,col = 1,5.如果p指向的记录的j下标与col相等: if (M.datap.j = col),23,M,T,6 5 6,col = 1,6.把M中的记录p复制到T中的记录q: T.dataq.i = M.datap.j; T.dataq.j = M.da

9、tap.i; T.dataq.v = M.datap.v; 7.让q下移: q+;,1 3 -3,24,M,T,6 5 6,col = 2,1 3 -3,2 1 12,2 5 18,25,M,T,6 5 6,col = 3,1 3 -3,2 1 12,2 5 18,3 1 9,3 4 24,26,M,T,6 5 6,col = 6,1 3 -3,2 1 12,2 5 18,3 1 9,3 4 24,6 3 14,27,（1）稀疏矩阵的转置：“按需查找”法,简单算法的分析 稀疏矩阵转置算法复杂度 = O(n*t) 比较一般矩阵的转置算法： 其复杂度 = O(m*n) 如果t和m*n一个数量级，则

10、稀疏矩阵转置算法复杂度=O(m*n2) 所以此算法只适用于tm*n时,for(col = 1; col = nu; col +) for(row = 1; row = mu; row +) Tcolrow = Mrowcol;,28,算法的实现 附设两个辅助向量num 和cpot 。 numcol：统计A中第col列中非0元素的个数； cpotcol ：指示A中第一个非0元素在b.data中的恰当位置。 数组numcol ：原矩阵第col列中，非零元素的个数 数组cpotcol：原矩阵第col列中，第1个非零元素在结果三元组表中的位置 显然有：,（2）稀疏矩阵的转置：“按位就坐”算法,29,（

11、2）稀疏矩阵的转置：“按位就坐”算法,2. 十字链表,十字链表的定义 稀疏矩阵的每个非零元素用一个含五个域的结点表示: i:非零元素所在行;j:非零元素所在列 e:非零元素值;right域:链接同一行下一非零元素 down域:链接同一列下一非零元素； 存储结构的C语言描述 typedef struct OLNode int i,j; ElemType e; Struct OLNode *right,*down; OLNode,*OLink; typedef struct OLink *rhead,*chead; int mu,nu,tu; CrossLink;,结点结构：,30,十字链表表示的

12、稀疏矩阵举例,结点结构：,稀疏矩阵M：,M的十字链表：,采用十字链表存储稀疏矩阵，创建稀疏矩阵、稀疏矩阵的运算见教材P104106,31,5.3 广义表 (General Lists ),广义表(列表):n (0)个表元素组成的有限序列，记作 LS = (a1, a2, , an) 表头(head):n0时,表的第一个表元素 表尾(tail):其它表元素组成的表 空表:n = 0 的广义表。 广义表的特性： 有长度：n 有深度：广义表中括号的重数 可递归 可共享,非空列表表头可是原子或列表,表尾必定是列表,32,广义表的图形表示,1、A=(/) 2、B=(e) 3、C=(a,(b,c,d) 4

13、、D=(A，B，C) 注： ：表 ：原子,33,5.3.1广义表的定义,GetHead(L):在广义表L存在的条件下，取L的表头。 GetTail(L):在广义表L存在的条件下，取L的表尾。 举例： 1 A=() GetHead(A)=NULL,GetTail(A)=NULL 2 B=(e) GetHead(B)=e, GetTail(B)=() 3 C=(a,(b,c,d) GetHead(C)=a, GetTail(C)=(b,c,d) GetHead(b,c,d)=b, GetTail(b,c,d)=(c,d) GetHead(c,d)=c, GetTail(c,d)=(d) 4 D=(

14、A,B,C) GetHead(D)=A, GetTail(D)=(B,C) GetHead(B,C)=B, GetTail(B,C)=(C) 5 E=() GetHead(B)=(), GetTail(B)=(),34,5.3.2 广义表的存储结构,采用链式存储结构，元素包括原子和子表，结点结构： 表结点： 表示列表 原子结点： 表示原子 1、广义表的头尾链表存储表示： typedef enum ATOM,LISTElemTag;/ATOM=0:原子,LIST=1:子表 typedef struct GLNode ElemTag tag;/公共部分，用来区分原子结点和表结点 Union/原子结

15、点和表结点的联合部分 AtomType atom; Structstruct GLNode *hp,*tp;ptr;/hp指向表头,tp指向表尾 ; *Glist;,35,A=(/) B=(e) C=(a,(b,c,d) D=(A，B，C) E=(a，E),5.5 广义表的存储结构示例,A=NIL,表结点：,原子结点：,36,5.5 广义表的存储结构示例,对广义表：C = (a,(b,c,d)，其头尾链表为：,37,2、广义表的扩展线性链表存储表示： typedef enum ATOM,LISTElemTag; /ATOM=0:原子，LIST=1：子表 typedef struct GLNode ElemTag tag; /公共部分，用来区分原子结点和表结点 Union/原子结点和表结点的联合部分 A