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1、1. 证明：的充要条件是.证明：若，则，故成立. 反之，若，则，又，若，则，若，则.总有.故，从而有。 证毕2. 证明.证明：，从而，故，从而，所以.另一方面，必有，故，从而，所以.综合上两个包含式得. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若（），则.证：若，则对任意的，有，所以（）成立知，故，这说明.定理4中的（4）：.证：若，则有，使 .反过来，若则或者.不妨设，则有使.故.综上所述有.定理6中第二式.证：，则，故存在 ，所以从而有.反过来，若，则使，故，从而. 证毕定理9：若集合序列单调上升，即（相应地）对一
2、切都成立，则 （相应地）.证明：若对成立，则.故从定理8知另一方面，令，从对成立知.故定理8表明故.4. 证明的充要条件是.证：充分性 若，则必要性 若，而则存在.所以即所以这与矛盾，所以.4. 设,求.又如果,问是什么.解:若,则.若,则从,易知.令.证明: 因为的任何子集.所以有,而,故,又.任取的一子集,且.显,故只用证的确是一个域.(1) ,且的子集,若,则(是的子集,故)又的子集,.显然是的子集,所以.又若为的子集或.则.这里是的子集.或.所以.若中除的子集外,还有,则.若中有,不影响.故是域,且.证毕.6.对于的子集，定义的示性函数为证明：（1）（2）证明：，若则。且只有有限个，使
3、得所以 使得 时 从而有 故若， 则 且有无限个故所以 .故（1）成立.（2）的证明： ，若则.且有无穷个 使得 ， 所以 注意到所以 .若，则且只有有限个使得所以 使得 时 ，所以 .所以（2）也成立.也可以这样证（2）：注意 .7.设f(x)是定义于E上的实函数，a为一常数，证明（1）（2）.证明：（1） 我们有，故存在 使（因为）所以.从而有；反过来： 若，则所以（1）成立.下证（2） 我们有从而有反过来，若 8.若实函数序列在上收敛于，则对于任意常数都有证明：先证第一个等式 由定理8知 我们有 对成立。又条件 ， 有故 对，使得 时，这表明.反过来 ， 我们知对 ，使得 时， . 令
4、， 得 再令 ， 得 ，所以 ，从而 故 （1）成立。下证第二个等式，一样有 ， 我们有 故 对， ， 时，.反过来 ，我们知对， ，使得 时， ，令 ， ，利用条件 ，有 ， 再令，得 ，所以 ，所以故（2）得证。注意：实际上有：对撒谎能够任何实函数列有.习题二 （p18）1. 用解析式给出和 之间的一个对应。解： ，令 ，则，且，故严格单调于，所以 为和 之间的一个对应。2.证明只需就有。证明：，令，则，且显然为对应。2. 证明平面上的任何不带圆周的圆上的点所作成的点集是和整个平面上的点所作成对等的，进而证明平面上的任何非空的开集（开集的定义见数学分析或本书第二章）中的点所作成的点集和整个
5、平面上的点所作成的点集对等。证明： 平面上一个开圆第三章习题1. 证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。证明：将全体有理数排成一列 ，则平面上的有理点，其中为可列集，故作为可数个的并为可数集。（第20页定理5）。2. 以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素.证明：设这里为某指标集。则我们可在任意这一开区间中选定一个有理数，与之对应，从而给出一个对应，由于互不相交，当显然，故上述对应是的.故与有理数集的一个子集对等，所以的势最多与的势相同，不会超过的势，故要么为有限，要么为可数集.3. 所有系数为有理数的多项式组成一可数集合.证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式
6、任取非负整数，全体阶有理多项式的集合的势是.事实上， 阶有理数与之对应，这一对应显然是的，即，这是因为由第一题：已知是可数集，利用归纳法，设是可数集，待证是可数集，.将中的点排成一列，将中的点排成一列，则，其中显然为可数集，故也是可数集，这表明阶有理多项式全体是一可数集，而全体有理多项式作为可数集的并也是可数集.4. 如果是上的单调函数，则的不连续点最多有可数多个.证明：我们在数学分析中知道上的单调函数的不连续点，只能是跳跃间断点，其任取上的单调函数，设其可能的间断点为 为某指标集，在，令则故，有一上的开区间与之对应.不妨设，设使，有，故，所以.故的间断点的集合与上的一族互不相交的开区间对应，
7、而后者的势为，故的间断点至多为可数多个.5.设是一无穷集合，证明必有，使，且可数.证明：若为可数集，则不妨设，令，则，且.显然仍为可数集，故此时结论成立.若为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1，中包含一个可数子集，令，则由于是无穷集，且不是可数集，是无穷集.由P21定理7和为可数集知： 证毕6. 若为一可数集合，则的所有有限子集构成的集合也是可数集.证明：由第一，第三题的证明已知（为有理数集）.由于是可数集，故个由全体中的一个元素组成的集合，是可数集.由全体中的两个元素组成的集合，是可数集若，记中的个元素组成的子集全体，则故是可数集.显然的所有有限子集构成的集合可表示为，为可数集，故作为可
8、数个可数集的并也是可数集.注意：的全体子集构成的集合不是可数集.7. 若是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可数无穷集合，则有，使中无穷多个区间的长度大于.证明：设为一指标集，记的长度为.若本题的结论不成立，则，只有有限个，使，由于中的区间都是非蜕化的，由于是有限集，故作为可数个可数集的并，也是可数集，这与是不可数无穷集矛盾.故，使中有无穷多个区间的长度大于.事实上，中有不可数无穷多个区间的长度大于.8. 如果空间中的长方形，中的都是有理数，则称为有理长方形，证明全体有理长方形构成一可数集合.证明：由前面题3，6中已知是可数集（为有理数组成的集合）设，任取，记之为.与之对应，由于
9、两有理长方形相等，故上述对应是单射，故与这一可数集的一个子集 对应.反过来，与显然对应，故与对应所以与的一个子集对等.由Berrstein定理 对等所以是可数集.P25 习题1. 证明上的全体无理数构成一不可数无穷集合.证明：记上的全体有理数的集合为.全体无理数的集合为，则.由于是一可数集合，显然是无穷集合（否则为可数集，是可数集，得矛盾）.故从P21定理7得 .所以，为不可数无穷集合.2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即非代数数）.证明：记全体整系数多项式的全体的集合为，全体有理多项式的集合为.则上节习题3，已知是可数集，而，故至多是可数集，而
10、显然为无穷集合，故必为可数集.任取一有.的不同零点至多有个，故全体的零点的并至多为无数.（至多为可数集，所以全体代数数之集也是至多可数集.又是可数集，.带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.3. 证明如果是可数基数，则.证明：一方面对于正整数的任意子集，考虑的示性函数令则若，则故（否则）故与的一个子集对等（）另一方面，.令（这里为中的全体有理数组成的集合）若，则由有理数的稠密性，是这一与对等的集合的子集.故与的全体子集组成的集合的一个子集对等（的全体子集组成集的势，即）也就与的一个子集对等.由Berrstein定理所以.4. 证明如果，则中至少一个为.证明：，故不妨认为，为的子集.若
11、存在，使得.则由于（显然）故，而.由Berrsrein 定理.若，则从知所以，则显然具有势故易知由Berrsrein 定理证毕5. 设是上全体实函数所构成的集合，证明证明：的子集，作的示性函数则映射规定了的所有子集的集合到上全体实函数所构成的集合的一个对应，且若，使得成立则必有所以与的一个子集对等.反过来，任取，是在中的图象，是中的一个子集.且若，使则，表明使故.所以与的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从知即与的一个子集对等.所以由Berstein定理.第二章习题1.证明的充要条件是对于任意含有的邻域（不一定以为中心）中，恒有异于的点属于（事实上这样的其实还是有无穷多个）而为的内点的充要
12、条件则上有含有的邻域（同样，不一定以为中心）存在，使.证明：先设，则中有无穷多个点。现在设，这表明，故，有故故有无穷个点，自然有异于的点.这就证明了必要性，事实上，是无穷集，故中有无穷多个异于的中的点.反过来，若任意含有的邻域中，恒有异于的点属于，则，中，有异于的点属于，记，则显然由条件中有异于的点，由归纳法易知，有和，这表明中有无穷个中的点.由的任意性知，若为的内点，则使，故必要性是显然的.若存在邻域，使，则从前面的证明知，故为的内点.2.设是全体实数，是上的全部有理点，求.解：，由有理数的稠密性知，中有无穷个中的点，故，故.而另一方面，必有，使，故故，所以.表明而故.3. 设是普通的平面，
13、求.解：事实上，若，则由于是上的连续函数，必存在，使有.故，故不是中的点矛盾.故时反过来，若则，作上的函数则是上的连续函数，使现在任取，使.由上面的结论，存在，使.故满足（1）；（2）.故（3），故所以由习题1的结论知，所以.而.4. 设是普通的平面，是函数的图形上的点所作成的集合，求.解：设函数的图形是.下证存在，设，则存在使若，则（当充分大）则所以若，则，所以故反过来： ，若，故存在，使，从而即存在故.若则从知存在使，令.则，所以，故故结论成立.5. 证明当是中的不可数无穷点集时，不可能是有限集.证明：记为的孤立点集，则所以.若能证明是至多可数集，则若是有限集或可列集知为至多可数集，这将与是中的不可数无穷点集矛盾.故只用证的孤立点集是至多可数集，使故是到中的一个互不相交的开球邻域组成的集的对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合是可数的，因为任取，取有理点，则从则与对应故是至多可数集.证毕第二章第二节习题1.证明点集为闭集的充要条件是.证明：因为，若为闭集，则所以故反过来，若，则必有从而为闭集.2.设是上的实值连续函数，证明对于任意常数，都是开集，都是闭集.证明：任取常数，若 ，则，由于连续，
