平面力系的平衡方程及应用

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1、,机械设计基础之,静,力,学,模,块,平面力系的平衡,引 言,力系平面内作用在物体上力的总称（力的集合）,根据力的作用线是否共面可分为：,平面力系 空间力系,根据力的作用线是否汇交可分为：,汇交力系 平行力系 任意力系,平衡力系作用在物体上使物体保持平衡的力系,平面力系的平衡,平面力系的平衡,平面汇交力系,平面力偶系,平面任意力系,平面汇交力系,一级目录,平面汇交力系,平面力偶系,平面任意力系,平面力系的平衡,平面汇交力系,过渡页,平面汇交力系 1、力在直角坐标轴上的投影； 2、合力投影定理； 3、平面汇交力系合成的解析法,平面汇交力系,平面汇交力系,过渡页,平面汇交力系,平面汇交力系：,研究

2、方法：几何法，解析法。,各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。,正文,LOGO,平面汇交力系,Fx=Fcosa ; Fy=Fsina = F cosb,说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。,正文,平面汇交力系,由图可看出，各分力在x 轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,FRx,F2x,F1x,F3x,F4x,x,y,o,正文,平面汇交力系,平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。,两个独立方程 可求解两个未知量,平面汇交力系平衡的必要和充

3、分条件是：各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。,正文,平面汇交力系,（3）合理选取坐标系，列平衡方程求解；,（4）对结果进行必要的分析和讨论。,（1）选取研究对象；,（2）画出研究对象的受力图；,几点说明：,（1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数；,（2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。,解析法解题步骤：,正文,平面汇交力系,例题1 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。,解： （1）取刚架为研究对象,（2）画受力图,解上述方程，得,（3）建立坐标系，列方程求解,P,正文,平面

4、汇交力系,解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程,例题2 已知 P=2kN 求Scd , Ra,正文,平面汇交力系,解平衡方程,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,平面汇交力系,平面任意力系,过渡页,平面力偶系,平面力系的平衡,平面力偶系,过渡页,平面力偶系 1、力矩的概念； 2、合力矩定理； 3、力偶和力偶矩； 4、平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系,过渡页,平面力偶系,力矩：,是度量力对刚体转动效应的物理量。,扭矩扳手,正文,LOGO,平面力偶系,力臂,矩心, 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。, 当F=0 或 h=0 时， =0。,说明：, 力对点之矩不因

5、力的作用线移动而改变。, 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。,正文,平面力偶系,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和。,即：,正文,平面力偶系,解：用力对点的矩法,例题3 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,应用合力矩定理,正文,平面力偶系,解：,例题4 已知：如图 F、R、r, , 求：,应用合力矩定理,正文,平面力偶系,解：,例题5 已知：如图 q、l, 求：合力的大小和作用线位置。,正文,平面力偶系,解：,例题6 已知：如图 q、l, 求：合力的大小和作用线位置。,注：三角型分布载荷的合力大小等于该三角型的面积，合力的作用线通过该三角形

6、的几何中心。,正文,平面力偶系,力 偶,力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。,力偶臂力偶的两力之间的垂直距离。,力偶的作用面力偶所在的平面。,正文,平面力偶系,力 偶 矩,力偶矩, 度量力偶对物体的转动效应,力偶矩与力矩具有相同的性质。,力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。,正文,平面力偶系,平面力偶的性质,性质1：力偶中两个力在任意方向上的投 影等于零，故力偶对物体不产生移动效应,性质2：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来平衡，力偶只能与力偶来平衡。力和力偶是两个基本力素。,正文,平面力偶系,平面力偶的性质,性质3：力偶对其所在平面内任一点

7、的矩恒等于力偶矩，而与矩心 的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,由于O点是任取的,正文,平面力偶系,力偶的等效, 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。,推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；,推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,M,M,力偶表示方法,正文,思考：,平面力偶系,力偶与力的异同,共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。,思

8、考： 1.如果某平面力系由多个力偶和一个力组成，该力系一定不平衡。 2.如果某平面力系由多个力和一个力偶组成，该力系一定不平衡。,正文,平面力偶系,平面力偶系的合成,任意个力偶的情况,结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,正文,平面力偶系,平面力偶系的平衡,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,正文,平面力偶系,梁上除作用有力偶 M 外，还有反力FA，FB 。,解：以梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡，所以 FA=FB。,又 M = 0 即 M - FAd = 0 所以 FA =FB = M / d,例题7 一简支梁作用一矩为M 的力偶，不

9、计梁重，求二支座约束力。（ AB= d ）,正文,平面力偶系,因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力偶，故FA= FB。 列写平衡方程：,B,l,A,M =0，,解得,例题11 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。,平面汇交力系,平面力偶系,一级目录,平面任意力系,平面任意力系,平面力系的平衡,平面任意力系,过渡页,平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用,平面任意力系,过渡页,平面任意力系,平面任意力系：各力的作用

10、线在同一平面内,既不汇交为一点又不相互平行的力系。,研究方法：,未知力系,已知力系,力系向一点简化,（平面任意力系）,（平面汇交力系和平面力偶系）,正文,平面任意力系的简化,平面任意力系,1,力的平移定理,M=F. d=MB(F),定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,正文,平面任意力系的简化,平面任意力系,1,力的平移讨论,为什么钉子 有时会折弯？,两圆盘运动形式 是否一样？,单 手 攻 丝,正文,平面任意力系的简化,平面任意力系,1,平面一般力系向平面内一点简化,正文,平面任意力系的简化,平面任意力系,

11、1,平面一般力系向平面内一点简化,结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。,正文,平面任意力系的简化,平面任意力系,1,平面任意力系,平面力偶系,平面汇交力系,合成,合成,FR=Fi,M=Mi,力线平移定理,正文,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,平面任意力系平衡的充要条件为：,平面任意力系 的平衡方程,力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,2,正文,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2, 几点说明：,（1）三个方程只能求解三个未知量；,（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，

12、只要不平行即可；,（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；,（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。,平面任意力系平衡方程的基本式,正文,例题12 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？,解： 选AB梁为研究对象。, 画受力图, 列平衡方程，求未知量。,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,例题13 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：BC杆拉力和铰A处的支座反力？,解：（1）选AB梁为研究对象。,（2）画受力图,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,（3）列平

13、衡方程，求未知量。,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,（3）列平衡方程，求未知量。,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,（3）列平衡方程，求未知量。,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,二矩式,条件：x 轴不垂直于AB连线,三矩式,条件：A,B,C不在 同一直线上, 基本式（一矩式）,平面任意力系,平面任意力系的平衡方程及应用,2,正文,任务实施：塔式起重机如图。机架重为W=200KN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P=50KN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重Q=30KN，到机中心距离为6m。求： 1、空载和满载时，

14、轨道对机轮A、B 的法向约束力； 2、此起重机在空载和满载时会不会翻倒？,正文,解：选起重机为研究对象。,（1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平衡条件。,满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平衡方程 。 在临界情况下，FA=0。求出的P3 值是所允许的最小值。,空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 。 在临界情况下，FB=0。求出的P3 值是所允许的最大值。,起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平 衡荷重P3应在两者之间，即： 75KNP3 350KN,（2）取P3 =180KN，求满载时作用于轮子的反力FA和FB。由平面平 行力系的平衡方程 ：,解方程得,验证：,