满意度数学建模20565

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1、满 意 度 数 学 建 模,山东理工大学 数学院 丁树江,满 意 度 数 学 建 模,以满意度为目标的优化决策或评价模型,称之为满意度数学模型. 通过引入表现满意度特征的数量指标,建立相应的决策数学模型,给出符合满意度要求的解决问题的方案,称之为满意度数学建模.,满意度数量指标 从决策方案涉及到的对象体系、系统、过程中提炼出来的，能够与人们主观上是否满意相一致的数量指标体系，称之为满意度指标，用S表示，它是决策方案的函数. 这种指标是由两个方面决定的：一是决策方案本身固有的、能够反映其突出特征的数值，是由方案本身涉及到的对象、过程、因素、属性等构成的泛函；,二是由人们主观上对于相应方案的喜好、

2、审美、心理因素、能够接受的极限以及中立的标准等反映出来的特征、规律决定的体系。 这里关键是个人或者某个群体对于某种状态、特征、表现、行为、规模、机会等的接受标准、喜好尺度的判定。两方面的结合，形成了相应的满意度数量指标。,满意度指标体系往往由多个指标所组成,因为一个系统或过程本身涉及到多方面的特征,而主观上人们又可能关心多个方面的属性特点,并根据综合指标进行最后的判断。 对于形成的多个满意度指标，需要将它们合成一个总的指标。而这种综合方法最常用的就是层次分析法，利用层次分析建立不同指标在总满意度指标下的权重大小，然后再利用这些权重进行线性加权，构成总的满意度指标。,在形成指标体系时，有时还要对

3、人群进行不同的分类，因为在形成分指标时，不同的人群的满意度标准不一样，因此经常要进行某些因子的调节。 满意度的定义方式可以多种多样，经常用函数形式来表示针对考察对象的某个方面的满意度,函数的形式可以是多种多样的,有时可以是分段函数.,满意度指标的构成方法 1、比值法 2、心理曲线法 3、满意度函数法 4、等级量化法,满意度数学模型方法 1、数学规划法 2、多目标优化法,公 交 车 调 度 模 型,公共交通是城市交通的重要组成部分，做好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要的意义。下面考虑一条公交线路上的公交车的调度问题，其数据来自于我国一个

4、特大城市，某条公交线路上的客流调查和运营资料。,CUMCM2001B,该条公交线路：上行方向共14站，下行方向共13站，下面给出的是一个典型工作日中两个运行方向的各个站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆的标准载客是100人，客车的平均运行速度是20公里/小时。根据运营的要求，乘客候车的时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，而车辆的满载率120%，一般也不要低于50%,试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于全天操作的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少车； 这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司的利益,如何将这个调度问题抽象

5、成一个明确的、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果设计成一个更好的调度方案，应如何采取运营数据。,有关数据,问题分析： 问题的目标是确定公交车的调度方案，给出公交车全天的运行时刻发车表，并确定需要的车数，分析乘客和公交公司的满意程度。实际上就是要确定出使得乘客和公交公司都满意的最佳方案。根据题目的意义可知，公交车的调度方案就是驶发车站每一次车的发车时刻表，只要发车时刻定下来以后，每一辆车的运行情况就会完全确定下来。,我们关心的是：乘客和公交公司的满意度，就是等候超过正常的等候时间的状况，等候的时间越短满意度越大，或者用超时等候的人数来表现满意度；而对于公交公司来说，关心

6、的主要是车的满载率，他们的满意程度可用公交车的载客率来表示，实际上载客率越高，所用的车数越少，公交公司越满意,因此，解决问题的关键在于当发车时刻表确定以后，根据已知的各种条件，确定出每一辆车运行过程中，在每一个站上，乘客的等车时间；在每个运行区间上汽车的上座率，根据这样的数据来计算乘客和公交公司的满意程度，并从中选出最好的方案来。,模型假设： 为了计算和分析方便起见，需要对于问题的背景、条件等做出适当的简化、规范，使得我们能够较好地反映出实际的状况，建立起适当的数学模拟形式，能够方便地进行计算和求解。 、该公交线路是双停车场，晚上公交车集中停放在两个发车场。,、公交车在路上运行速度正常，不考虑

7、路上的堵车，以及在各个站上的耽搁时间，公里小时的速度是全天的平均运行速度。 、乘客到达各个车站的时间分布是均匀的，即假设在局部时间段上，乘客到达每个车站的人数分布密度是均匀的。 、乘客在每个车站下车的人数，在局部时间段上是均匀的。,符号说明： 、车站标记：j=1,2,n; 共n个车站,、来客的密度：在时刻t到达j站的,、下车乘客的密度：在时刻t从车 站j下车的乘客的密度,、站间的行车时间：,、每辆车的载客量：B；载客的上限,、交通高峰时刻等待时间的上界 交通的平峰时刻等待时间的上界,、发车时刻表：,表示第一辆车到达起点站j=1的时刻,表示的是第k辆车驶离起 点站j的时刻，k=1,2,m,、第k

8、辆车驶离j站的时刻记为,，,、第k辆车驶离j站的时侯该车上的 人数，记为： k=1,2,m; j=1,2,n-1,、 表示从 到 时段 上来的乘客数；,表示第k辆车驶到j站时，该站上 等待过h辆车仍然未能上车的乘客数;,表示第k辆车驶到j站时，该站上等待时间 最久的乘客的候车趟数。,显然有,11、 表示第k辆车驶到j站时， 等到该站的乘客下完车以后，车上仍然 留下的乘客数。,计算公式为：,、 表示第k辆车驶到j站 后，等到该站的乘客下完后，j站可容纳的上车乘客的人数的上界，显然有：,、 表示第k辆车驶到第j站后，该车上实际上车的人数,模型建立,模型一 一段时间内公交车上下车的乘 客数计算模型,

9、第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站的时间段内，该站上乘客来到的人数为：,第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站的时间段内，该站上乘客下车人数为：,模型二 第k辆车驶离j站时该车上 的乘客数量,第一步，按照先到先上车的原则，确定在j站的正在等待的乘客中，当第k+1辆车到达车站时，除了能够上车的乘客以外，仍然还要继续等待的车辆数的最大值记为 ，这个数满足下面的问题,第二步，如果 ，这表明，此时刻的所有人都可以上车，因此这个时候该车站上，第k 辆车实际新上车的的乘客人数为,第三步，如果 ，表明此时车站上的所有乘客并不能够都上车，必然要留下一部分人，因此这个时候，新上车的人数就是原来车上尚余的最大

10、的空间，既： ，同时显然这个时候，余下的人中第k+1辆车到达车站以后，还没有上车的人中等车趟数的最大值应当是：,并且有递推数量关系：,即这个时候的第k+1辆车到达该站时已等候车数 +1的人数，就是刚上了上辆车后，已经上车后剩下的人中原来已经等了 辆车的人数，这个数就是 ，,所以可以计算出关键的数据：第k辆车驶离j站时该车上的乘客数量为：,模型三 超时率和载客率的计算模型,第 k辆车到达j站时，该站 上已经等候h趟车的乘客的人数是：,记交通的高峰时期为 ，而整个时段为,他们已经等候的时间是：,交通高峰时段候车的超时率为,记为：,交通平峰时段候车的超时率为：,满载率低于50%的段数的百分比为,=,

11、模型四 优化模型,为了使得公交公司与乘客都满意，就要保证在所选的方案中，乘客等车时间超过上限的人次数尽量最小；同时也要保证公交公司的车辆的不满50%的段数尽量地小，显然用段数作为计量的单位是必要的，因为人数的变化、车辆的满载状况是在每个段上衡量的。当然这里并不关心总的等车的时间，而关心的是等车超过上限时间的次数，这也是表现等车的基本的数量信息。为了构造满意度模型，我们可以用比率模型来表示，而不是用实际等车的时间数来表示。,求,其中 是给定的权重，反映的是对三个目标的重视程度,模型计算,本问题属于无约束最优化问题，可以用诸如数值微分等方法计算。也可以用离散化的计算方法，根据问题的实际背景，通过仅

12、考虑决策变量的部分特殊的、符合实际的离散化的状态，再从中选择较优的方案。,将上行和下行两个运行方向的运营分开分别计算，求出两个方向各自在一个运行周期中的所有的发车的时间表、发车的次数，求出可能的发车次数以后，再进行配车，将发车次数的计算与车辆的配给数分开计算是合理和必要的。只要知道了一天要运行的次数，就能够求出所用的车辆数。这也是运输问题建模的重要的方法。,计算结果,分别表示交通平峰 早交通高峰 晚交通高峰时发车时间间隔 C表示综合满意度 total表示一天发车的总次数，Up-bus表示上行路段车辆数 Down-bus表示下行路段车辆数,可见，较好的方案是： 交通平峰时发车时间间隔为分钟；而早

13、交通高峰时发车的时间间隔为分钟，晚交通高峰时的发车间隔时间为分钟； 需要的车辆数为辆车。,彩票中的数学建模,近年来，彩票飓风席卷中国大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到了彩民的行列。目前流行的彩票主要有传统型和乐透型两种。,传统型采用10选6+1的模式，先从6组09号球中摇出六个基本号，每组摇出一个，然后再从04号中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选六个基本号码（可以重复），再从04中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符合的个数多少以及顺序确定中奖等级。以中奖号码为abcdef+g为例说明中奖等级，表中x表示未选中的号码；,乐透型有多种不同的形式，比如33

14、选7的方案：先从0133个号码球中一个一个摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号。得到一个中奖号。而投注者任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码中与中奖号码相符的个数多少确定出中奖的等级，不考虑号码的顺序。,又如36选6+1的方案，先从0136个号码球中一个一个摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号，组成中奖号码。然后，彩民从0136个号码中任选7个组成一注，（不可重复），根据单注号码与中奖号码的相符的个数多少来确定中奖的等级。不考虑号码的顺序。,中奖号码数据,彩票规则： 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注如果已得高级

15、别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则以及相应的奖金设置方案见表，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖的数额一定，高项奖按照比例进行分配，一等奖的保底奖金为60万元，封顶金额为500万，,高项奖的计算方法为 （当期销售总额总奖金比例）-低项奖总额单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各个方案的合理性。 （2）设计一种更好的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。,问题分析：评价一个方案的好坏，主要看对于彩民以及政府管理部门来讲，该方案是不是有利于这项

16、工作的发展。设计的方案好不好，关键一点是看它能不能吸引更多的人参与其中，而这显然取决于方案对于广大彩民的吸引力，也就是广大彩民对于方案的满意程度，因此本问题的根本的目标仍然是关于满意度的问题。 如何定义满意度指标是问题的关键所在，满意程度本质上是个心理表现的度量，现在要用一个或几个数值来表现这种度量，如何定义相应的度量指标？,实际上，满意度指标的一个基本的性质是：它是决策方案的泛函数，是由方案中或者与方案有关的数量来决定的。显然，每个方案中，彩民最关心的就是：高等奖的奖金比例、彩民中得各项奖的概率有多大？一等奖的奖金数的大小。如何用这些数据来定义一个函数值，作为反映方案好坏的指标？ 实际上，关键是平均每买一注时，彩民对它的满意程度，否则的话不好比较，彩民的满意度就是投一注时，所产