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1、2012-10-101 理论力学理论力学 第四章 质点系的平衡 第四章 质点系的平衡 作业：3-20、3-29、3-38作业：3-20、3-29、3-38 分析静力学分析静力学 2012-10-102 理论力学理论力学问题的引出问题的引出 问题问题1：若已知升降台各部件的尺寸和重力，若已知升降台各部件的尺寸和重力，(1):如何求平衡时气 缸中活塞的推力？ 如何求平衡时气 缸中活塞的推力？ (2):若人站的位置不同，气缸推力是否改变？若人站的位置不同，气缸推力是否改变？ 2012-10-103 理论力学理论力学问题的引出问题的引出 问题问题2：系统平衡时两力偶矩的关系如何？系统平衡时两力偶矩的关
2、系如何？ 2012-10-104 理论力学理论力学问题的引出问题的引出 问题3:问题3: 已知各均质杆长为已知各均质杆长为L，重为，重为W，求系统在图示位置 平衡时，所需水平力 求系统在图示位置 平衡时，所需水平力F 的大小。 (忽略所有摩擦）的大小。 (忽略所有摩擦） tanWF = 应用几何静力学 的方法 应用几何静力学 的方法不易求解不易求解 问题：问题：若力若力 F 作用点在下面的作用点在下面的 A 点，所得结果是否改变？点，所得结果是否改变？ A 2012-10-105 理论力学理论力学问题的引出问题的引出 构件失稳演示实验装置构件失稳演示实验装置 2012-10-106 理论力学理
3、论力学 A F W A B C 问题的引出问题的引出 问题4:问题4:长为长为L重为重为W 的均质杆的均质杆AB若 在图示位置平衡时, 求水平力 若 在图示位置平衡时, 求水平力FA。 = = 0 ii rF 0,cossin0(1) 2 BA L MF LW= A r cossin0 2 A L F LW= 0 )2(0= = + + cAA rWrF （1）与（）与（2）等价的条件：）等价的条件：约束所容许的微小位移约束所容许的微小位移 | c r 特点：特点： （2）式确定了系统平衡时，主动力间的关系。）式确定了系统平衡时，主动力间的关系。 Jordanus de Nemore（1220
4、年）应用该思路证明了杠杆的平衡的条件年）应用该思路证明了杠杆的平衡的条件 2012-10-107 理论力学理论力学4-1 力的功4-1 力的功 一、力在曲线路程中的功一、力在曲线路程中的功 rrd+ + rFvFdd = =tW 元功元功(elementary work): kjir kjiF zyx FFF zyx dddd+=+= + + += = zFyFxFW zyx ddd+ + += =元功的解析表达式元功的解析表达式 v x y z O r F A B rd 力力F在曲线上由在曲线上由A 点到点到B 点所作的功：点所作的功： +=+= BA zyxBA zFyFxFW)ddd(d
5、)( BA rFF 2012-10-108 理论力学理论力学4-1 力的功4-1 力的功 二、作用于刚体上力偶的元功二、作用于刚体上力偶的元功 LFM = = ddFLrFW= = = dMW = = dd=MMtW 三、作用于质点系上力系的总元功三、作用于质点系上力系的总元功 设：质点系上作用有力系; 是力作用点的矢径。设：质点系上作用有力系; 是力作用点的矢径。 , 1n 力偶的元功力偶的元功: (适用于刚体的任意运动)(适用于刚体的任意运动) FFL i r i F 则作用于质点系上力系的总元功为：则作用于质点系上力系的总元功为： = = = n i ii W 1 drF M O F F
6、 L O d rd 2012-10-109 理论力学理论力学 F s o R r 4-1 力的功4-1 力的功 纯滚动纯滚动(rolling without slipping): 圆盘相对地面无滑动，与地面 接触点速度为零。 圆盘相对地面无滑动，与地面 接触点速度为零。 s F o R 问题问题: 如何求如何求纯滚动纯滚动圆盘轮心移动圆盘轮心移动S 距离时距离时, 力力F所作的功。所作的功。 Rs= =纯滚动满足的关系式：纯滚动满足的关系式： 2012-10-1010 理论力学理论力学4-1 力的功4-1 力的功 )()()()( R 11 O n i m j i WWWWMFPF j +=
7、= 则 , R121Omn 等效力系作功定理等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效若作用于刚体上的力系等效 MFPPFFF=LL即： F s o R r s F o R F M F M (/)WFsMs R=+=cos() s WFsM R =+= MFR= ()2 s WFsFRFs R =+= cos()(cos) sr WFsFrFs RR =+=+ MFr= 2012-10-1011 理论力学理论力学4-1 力的功4-1 力的功 四、质点系内力的元功之和四、质点系内力的元功之和 2211 ddrFrF + + = =W 2111 ddrFrF= )d( 121 rF-= lF d
8、 1 = 1 A 2 A 1 F 2 F O x y z 1 r 2 r 12 r 弹簧弹簧刚性杆刚性杆不可伸长的绳索不可伸长的绳索 问题问题: 判断下列质点系判断下列质点系内力元功之和内力元功之和是否为零。是否为零。 0d l 0d = =ld0,l=F 0 结论结论: 刚体、不可伸长绳索内力的刚体、不可伸长绳索内力的元功之和为零元功之和为零。 )d( 211 rrF= 121 d rF = = d0,l =F0 2012-10-1012 理论力学理论力学4-1 力的功4-1 力的功 五、摩擦力的元功五、摩擦力的元功 1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦
9、因数为f） tvfFtWdd)( N =vFF v F N F 2.滚动摩擦力的元功滚动摩擦力的元功 tW Ad )(vFF = = 在固定面上纯滚动时在固定面上纯滚动时：0)(= =FW 0)( f WM A N F F A v f M 摩擦力的元功：摩擦力的元功： ()dWt= ff MM 滚阻力偶的元功：滚阻力偶的元功： 在固定平面上在固定平面上 和 滚阻力偶的元功和 滚阻力偶的元功 2012-10-1013 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 一、约束与约束方程一、约束与约束方程 约束约束(constraint)：限制物体运动的条件限制物体运动的条件 约束方程约束
10、方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式约束条件的数学表达式 222 lyx= =+ + 222 lyx + + 2 0 22 )(vtlyx = =+ + 2012-10-1014 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 二、约束的分类二、约束的分类 222 lyx=+ 222 lyx+ y x Ml y x M l 双面约束双面约束(bilateral constraint)： 方程为方程为等式等式的约束的约束 单面约束单面约束(unilateral constraint)：方程为方程为不等式不等式的约束的约束 定常约束定常约束(scleron
11、omic constraint)：方程中方程中不显含时间不显含时间t的约束的约束 非定常约束非定常约束(rheronomic constraint)：方程中方程中显含时间显含时间t的约束的约束 222 )sin(lytx=+ txAsin= A x A M x y 2012-10-1015 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 完整约束完整约束(holonomic constraint)： 方程中方程中不含速度项不含速度项的约束（几何约束）的约束（几何约束） 非完整约束非完整约束(nonholonomic constraint)： 方程中方程中含有速度项（不可积）含有速度项
12、（不可积）的约束的约束 s o R 纯滚动纯滚动 约束方程约束方程: 0),(=+=cRssf Rs& = = x x y y o x y & & = =tan v x & y & 0=&Rs0cossin=yx& ?0),(=yxf t d d =& t s s d d =& 2012-10-1016 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 0 1 = + = t f q q f s k k k &可表示成速度约束： 0),( 1 =tqqf s L非定常几何约束： 0 0 1 =+ = aqa k s k k & 线性速度约束的一般形式：线性速度约束的一般形式：0 0 1
13、 =+ = aqa k s k k & 位形坐标和时间的函数可以是常数，也可以是 k a其中其中: 几何约束可以转化成速度约束几何约束可以转化成速度约束 速度约束不一定能转化成几何约束速度约束不一定能转化成几何约束 可积的速度约束（完整约束）可以转化成几何约束可积的速度约束（完整约束）可以转化成几何约束 不可积的速度约束（非完整约束）不能转化几何约束不可积的速度约束（非完整约束）不能转化几何约束 注意：注意： 2012-10-1017 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 123 0AqBqCq+=&约束方程约束方程:是可积的充分必要条件是：是可积的充分必要条件是： 233
14、112 0 CBACBA ABC qqqqqq + 定理*定理*（完整约束的充分必要条件）（完整约束的充分必要条件） 推论*:推论*: 则该约束方程为完整约束则该约束方程为完整约束(可积的速度约束可积的速度约束)。 约束方程约束方程: Rs& = =0=&Rs s o R 纯滚动纯滚动 0, 1,0 AsB ABR C += = = & 若约束方程若约束方程: 中的中的A、B、C是常数是常数 123 0AqBqCq+=& 2012-10-1018 理论力学理论力学4-2 约束及其分类4-2 约束及其分类 sin ,cos ,0ABC= = x x y y o v x & y & 00cossi
15、n=+ & &yx 10= 证明：证明：冰刀的约束为非完整约束冰刀的约束为非完整约束 123 ,qx qy q= sin ( sin )(cos)cos+ 123 0AqBqCq+=&约束方程约束方程: 233112 0 CBACBA ABC qqqqqq + 33 0 BA AB qq + x y & & = =tan 其中：其中： 非完整约束实例非完整约束实例 2012-10-1019 理论力学理论力学4-3 广义坐标与自由度4-3 广义坐标与自由度 问题：问题：用什么量描述质点系在空间的位置？用什么量描述质点系在空间的位置？ 描述质点系在空间位置的量有多少个？描述质点系在空间位置的量有多少个？ 2012-10-1020 理论力学理论力学4-3 广义坐标与自由度4-3 广义坐标与自由度 L 广
