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1、 299 第 5 章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成第 5 章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成陀螺仪近似理论 陀螺仪近似理论 5-1 曲柄 OA 绕固定齿轮中心的轴 O 转动，在曲柄上安装 1 双齿轮和 1 小齿轮，如图 5-1a 所示。已知：曲柄转速r/min 30 0 =n；固定齿轮齿数60 0 =z，双齿轮齿数40 1= z和 50 2 =z，小齿轮齿数35 3 =z。求小齿轮的转速和转向。 0 z O 2 z 3 z 1 z 0 n r r2 r3 (a) (b) 图 5-1 解解 图 5-1b，动系固结于曲柄 OA，轮系相对于动系作定轴转动，齿轮 0 z与齿轮
2、 1 z相对 OA 作反向转动。设齿轮 0 z相对于动系 OA 的转动角速度为 r ，且 0r = 则 r 1 0 2r z z = 因齿轮 2 z与齿轮 3 z相对 OA 作反向转动，则 2r 3 2 3r z z = 00 3 0 1 2 r 1 0 3 2 3= z z z z z z z z 根据角速度合成运动定理 00 31 20 03r3e3 2)(= +=+= zz zz rad/min 602 03 =nn（ 3 n与 0 n转向相反） 5-2 在周转传动装置中， 半径为 R 的主动齿轮以角速度 0 和角加速度 0 作反时针转向 转动， 而长为3R的曲柄OA绕轴O作顺时针转向转
3、动的角速度 0 = OA ， 角加速度 0 = OA ， 如图 5-2a 所示。点 M 位于半径为 R 的从动齿轮上，在垂直于曲柄的直径的末端。求点 M 的 速度和加速度。 O O O OA OA rA rA C a t e a t r a e v r v B n r a n e a M A (a) (b) 图 5-2 解解 动系固结于曲柄 OA，以点 M 为动点，其速度和加速度分析如图 5-2b。轮系相对动 系 OA 作定轴转动，对轮 O 有 0r 2=， 0r 2= 对轮 A 有 0r 2 r 2 2/ 2/ ) 1(= R R R R A 0r 2 r 2 2/ 2/ ) 1(= R R
4、 R R A （1） 点 M 的速度 B 300 00e 10ROMv= 0rr 2RRv A = )90cos(2 re 2 r 2 e +=vvvvvM 由几何关系 10 1 sin 10 3 cos= 故 RvM 0 10= （2） 点 M 的加速度 C n r t r n e t e aaaaaa+= M 其中 2 0 2 0 n e 10ROMa=， 00 t e 10ROMa= 0r t r 2RRa A =， 2 0 2 r n r 4RAMa A = 2 0r0C 42Ra=v 因 n r a与 C a等值反向共线，故 0 C n r =+ aa 2t r t e 2t r n
5、 e )sin()cos(aaaaaM+= 2 00 2 0 2 0 ) 10 3 210() 10 3 210(+=RRRR 0 2 0 4 0 2 0 12)(10+= R 5-3 如图 5-3a 所示齿轮减速器中，主动轴角速度为，齿轮与定齿轮 V 相内啮合。 齿轮和又分别与动齿轮 I 和相外啮合。如齿轮 I，和的半径分别为 1 r， 2 r和 3 r， 求齿轮 I 和的角速度。 r1 r5 r4 4 I IV III II V V (a) (b) 图 5-3 解解 如图5-3b所示，动系固结于系杆，则轮系相对于系杆作定轴转动，原来静止的轮 V相对于系杆运动的角速度为 = r5 于是轮I和
6、相对于系杆的角速度分别为 1 5 r5 1 2 2 5 r1 ) 1( r r r r r r = 42 53 r5 4 3 2 5 r4 ) 1( rr rr r r r r = 根据角速度合成定理 301 1 5 r1e1 r r +=+= 42 35 r4e4 rr rr +=+= 由啮合关系知 3214 rrrr+=， 215 2rrr+= 代入上式得 )1 (2 1 2 1 r r +=（与同向） )( )( 3212 3221 4 rrrr rrrr + + =（与同向） 5-4 自动多头钻床采用送进机构为行星减速轮系，如图5-4a所示。齿轮I固定在机架外 壳上，齿轮是中心轮，作定
7、轴转动，行星轮II与III固结一体可绕系杆H上的轴 O2转动， 系杆H又绕固定轴转动。设20 1= z，22 2 =z，21 3 =z，21 4 =z，求传动比 H 4 H4 =i之 值。 IV IIIII r1 H 4 r4 2 O (a) (b) 图 5-4 解解 动系固结于系杆H，轮系相对于系杆作定轴转动。根据角速度合成定理有 Hr1 =， H2r2 =， H2r3 =， H4r4 = 由齿轮啮合关系得 1 2 r2 r1 z z = ， 3 4 r4 r2 z z = ， 31 42 r4 r1 zz zz = ， Hr1 42 31 r4 11 10 = zz zz 由于 Hr4H4
8、 11 10 = 得 11 H 4 = 11 1 H 4 H4 = i 5-5 如图5-5a所示1双重差动机构，其构造如下：曲柄绕固定轴 ab 转动，在曲柄 上活动地套1行星齿轮， 此行星齿轮由2个半径为mm 50 1 =r和mm 20 2 =r的锥齿轮牢 固地连接而成。这2个锥齿轮又分别与半径各为mm 100 1 =R和mm 50 2 =R的另外2个 锥齿轮I和相啮合。齿轮和均可绕轴 ab 转动，但不与曲柄相连，其角速度分别为 rad/s 5 . 4 1 =，rad/s 9 2 =。如2齿轮转动方向相同，求曲柄的角速度 3 和行星齿轮 相对于曲柄的角速度 43 。 302 eA v rA v
9、 1 r 2 r 43 IV B rB v eB v A I II 2 R 1 R 1 2 III VI 1 r 2 r (a) (b) (c) 图 5-5 解解 行星齿轮作定点运动，定点为轴与铅垂轴的交点，将动系固结于曲柄，研究锥 齿轮上点的运动。 3e =， 43r = 图5-5b为从左侧面看行星齿轮上的点 A 和 B 的速度分析，显然 reAAA vvv+=， reBBB vvv= 由已知得 m/s 45. 0 22 =RvA，m/s 45. 0 11 =RvB 又 32e RvA=， 432r rvA=， 31e RvB=， 431r rvB= 将已知数据代入得 4525 432 =+
10、，45510 432 = 解得 rad/s 7 3 =，rad/s 5 43 = 5-6 圆锥滚子轴承由紧套在轴2上的内环1、装在机身上的外环3和一些圆滚子4组 成。如果滚子无滑动，而转子角速度为恒量。在图5-6a所示尺寸下，求滚子的角速度和 角加速度。 B A z D O )2(90+ E C (a) (b) 图5-6 解解 研究对象为滚柱 AB，纯滚，O 为定点： 0= B v ADAB=， 2sin )2cos( + = AE AD ，方向如图5-6b所示 （1） 设滚柱的角加速度为 ，则 d d 1 = t （2） 其中 1 为绕转子 z 轴的角速度，由运动分析，知其方向应沿轴 z 正
11、向。 考虑滚柱的自身轴 OC 上点 C 的运动， 在同1时刻， 点 C 既绕瞬时轴 OB 以角速度作 圆周运动，又绕定轴 z 以角速度 1 作圆周运动，所以 303 sin=OCvC 同时 )cos()(90(sin( 11 +=+=OCOCvC )cos( sin 1 + = 由式（2） ，得 2 1 )cos( cossin )90sin( + =+= ( ) 2 2 2 1 2sin)cos( )2(coscossin + + = 由 方向垂直图面向里。 5-7 锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心 O，如图5-7a所示。锥齿轮在支座齿轮上滚 动，每分钟绕铅垂轴转5周。如rR2=，求锥齿轮绕
12、其本身轴 OC 转动的角速度 r 和绕瞬 时轴转动的角速度。 解解 用刚体绕相交轴转动的合成法求解，把动系固结于轴 OA。由于锥齿轮与平面齿轮 的啮合点 C 的速度为零，所以 OC 为瞬时转动轴，于是绝对运动的角速度沿 CO 方向， 牵连运动是绕过 O 的铅垂轴的转动，角速度为 e ，相对运动是绕本身轴线的转动，角速度 为 r ，作角速度矢平行四边形如图5-7b。 R r A C e O r (a) (b) 图5-7 在直角三角形 OCA 中，由于rR2=，所以 = 30， rad/s 6 30 e = n 由角速度分析图b得 e e r 2 sin30 = =， ee 330cot= rad
13、/s 047. 12 er =， rad/s 907. 03 e = 5-8 陀螺以等角速度 1 绕轴 OB 转动，而轴 OB 等速地画出1圆锥，如图5-8a所示。 如陀螺的中心轴 OB 转速为r/min n，=BOS（常量）求陀螺的角速度和角加速度。 z x y O 1 e r s (a) (b) 图5-8 解解 陀螺作定点运动，把动系固结于轴 OB，作角速度矢平行四边形如图5-8b。有 re +=， 30 e n =， 1r = 得 304 cos) 30 (2) 30 (cos2 1 2 1 2 re 2 r 2 e nn +=+= 此时陀螺作规则进动 re =， sin 30 1 n
14、= 5-9 如图5-9a所示圆盘以角速度 1 绕水平轴 CD 转动， 同时轴 CD 以角速度 2 绕通过 圆盘中心点 O 的铅直轴 AB 转动。rad/s 5 1 =，rad/s 3 2 =，求圆盘的合成角速度和 瞬时角加速度的大小和方向。 解解 圆盘的运动是绕其中心点的定点运动，将动系固结于支架 ADC，其牵连角速度为 2 ，相对角速度 1 。作角速度矢平行四边形图，如图5-9b所示，有 21 +=， 21 rad/s 83. 5 2 2 2 1 =+=，6 . 0tan 1 2 = 由于始终 21 ，所以圆盘作规则进动 12re = 1 O (a) (b) 图5-9 代入已知数据得 2 12 rad/s 1590sin=，的方向沿轴 y 正向。 5-10 船式起重机桅柱高 OB=6 m，起重臂 AB=4 m，它绕桅柱轴 z 转动的的规律是 rad 1 . 0)(tt =，船体绕纵轴 O 左右摇晃的规律是rad 6 sin1 . 0)(tt =。当s 6=t时，起 重机
