离散时间信号和系统的变换域分析第二章

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1、教学资料邮箱,邮箱： 密码：dsp123456,第二章 离散时间信号和系统的变换域分析,本章主要内容：,1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,2.1 z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,一、ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面(z的实部为横坐标，虚部为纵坐标),单边Z变换,单边Z变换在大多数情况下其特性与双边z变换相同。可以看做因果序列的双边z变换。,二、ZT

2、的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 ，则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,2）右边序列,上式中，第一项是有限长序列的Z变换，其收敛域为有限Z平面，第二项是Z的负幂级数，对于第二项，如果在|Z|=R上收敛，则所有|Z|R上均收敛，设Rx-是收敛边界，综合第一项和第二项的收敛域可知：,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换， 其序列必为因果序列（反证

3、法),3）左边序列,上式中，第二项是有限长序列的Z变换，其收敛域为有限Z平面，第一项是Z的正幂级数，对于第一项，如果在|Z|=R上收敛，则所有|Z|R上均收敛，设Rx-是收敛边界，综合第一项和第二项的收敛域可知：,4）双边序列,双边序列可以看做一个左边序列和右边序列之和。,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,一般地，右边序列的收敛域是以最大极点模值为半径的圆外，在无穷处是否收敛取决于x(n)在n0时是否为0。,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,一般地，左边序列的收敛域是以最小极点模

4、值为半径的圆内，在z=0处是否收敛取决于x(n)在n0时是否为0。,例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域,根据例3，例4等例题可知：给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内 教材上：PP51，列出了几种序列的Z变换的表达式,2.1.2 z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),1、柯西积分理论,根据复变函数理论，若函数X(z)

5、在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,围线积分法（留数法）,若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：,序列x(n)等于函数在围线C内各极点的留数之和，或者C外各极点留数和的负值。,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,留数的具体求法：,单阶极点的留数：,l阶极点的留数：,2、部分分式展开法求解IZT ：

6、,若函数X(z) 是z的有理分式，可表示为：,将X(z)分解为有理多项式和有理真分式之和 其中有理多项式的逆z变换是单位脉冲序列及其移位 有理真分式的逆z变换利用部分分式的z反变换和可以得到；通常先对X(z)/z进行展开，然后再乘以z,通常会用到一些典型序列的Z变换；常见序列的ZT参见教材,例2 设 利用部分分式法求z反变换。,解：,3、幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列

7、负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1:,长除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,ROC2:,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,1、线性性,Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 （乘以指数序列）,4、 z域求导 （序列线性加权）,收敛域一般是原序列收敛域的公共部分，但如果产生极点零点抵消，有可能收敛域扩大,序列移位后的收敛域在0和无穷处可能发生变化，需要重新判断。如果原收敛域是环形区域，移位后不变。,Z变换的基本性质（续）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序

8、列,7、初值定理 （对于因果序列),8、终值定理,序列为因果序列，且极点都处于单位圆以内（最多在单位圆上的z=1处有单阶极点)。,Z变换的基本性质（续）,9、有限项累加特性 (因果序列),ZT的主要性质参见书pp63页的表2-1-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,Matlab计算z变换,序列的z变换X(z)一般是z.-1的有理分式。 Matlab提供了对X(z)进行部分分式展开的函数residuez，其调用形式为r,p,k=residuez(B,A) B和A分别表示X(z)的分子多项式系数向量和分母多项式系数向量。注意：用的时候如何正确的书写B和A向量。 返回参数r是部

9、分分式系数向量，p是极点向量，如果有重极点，则会在p中重复出现，k表示多项式系数向量。 例2-1-9,部分分式展开的Matlab实现,%program2_1 b = 1.5 0.98 -2.608 1.2 -0.144; a = 1 -1.4 0.6 -0.072; r,p,k=residuez(b,a); disp(r=); disp(r); disp(p=); disp(p); disp(k=); disp(k);,可见0.6为重极点,用Matlab计算z变换和逆z变换,Matlab的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans和计算逆z变换的函数iztrans，其调用形式为： F=z

10、trans(f) f=iztrans(F) 上式中的f和F分别为时域和z域表示式的符号表示，可以用函数sym来实现 S=sym(A)：A为待分析的表示式的字符串；S为符号化的数字或变量,例2-1-10,%program2_2 x=sym(cos(a*n); X=ztrans(x); disp(X(z)=); disp(X);,%program2_3 X=sym(z/(a+z)2); x=iztrans(X); disp(x(n)=); disp(x);,也可以先用Matlab进行部分分式展开，再进行逆z变换,%program2_4 b = 1, -0.5; a = 1 ,0.75,0.125;

11、 r,p,k=residuez(b,a); disp(r=); disp(r); disp(p=); disp(p); disp(k=); disp(k);,注意：这里k没有返回值,%program2_5 b = 1, -0.5,0.5,1; a = 1 ,-3,2; r,p,k=residuez(b,a); disp(r=); disp(r); disp(p=); disp(p); disp(k=); disp(k);,注意：如何根据部分分式展开写x(n),2.2 单边z变换,单边z变换 序列在n0时如何定义，对序列的单边z变换没有影响。 因果序列的单边和双边z变换的结果相同。 单边z变换的

12、收敛域 其幂级数中只包含z的负指数项，因此收敛域是某圆外的部分，包含无穷。 单边z变换的性质 除了移序性质以外其余性质与双边z变换的性质均相同。,右移性质 左移性质,用单边z变换解差分方程,单边z变换适用于需要根据初始条件求解因果系统响应的问题。 数字系统的全响应包括零状态响应和零输入响应。,零输入响应：仅由系统的初始状态决定的响应，即输入x(n)=0。求解方法，令x(n)=0，对差分方程求z变换，再做逆变换，即可求得零输入解。,逆z变换得到零输入解,注意：这里进行z变换时，采用的是单边z变换的性质,零状态响应：仅由系统的输入决定的响应，即y(n)的初始状态为0时的响应。求解方法，令x(n)=

13、0，对差分方程求z变换，再做逆变换，即可求得零输入解。,逆z变换得到零状态解,系统响应是上面的零输入响应和零状态响应之和。,例2-2-1,已知系统差分方程：,初始条件：y(-1)=2; 输入信号：x(n)=u(n)， 求系统响应。,解：对差分方程进行z变换得,将初始条件y(-1)=2和X(z)代入上式可得,上式收敛域取|z|1,注意：这里进行z变换时，采用的是单边z变换的性质,注意：这个时候要确定Y(z)的收敛域,例2-2-2,已知系统差分方程：,初始条件：y(-1)=k;|a|=0)，求系统响应。,解：对差分方程进行z变换得,注意：X(z)只有当|z|1的时候才收敛，也就是说其收敛域为|z|

14、1,将X(z)及初始条件代入Y(z)可得到:,注意：这个时候要确定Y(z)的收敛域,因为|a|1,对Y(z)用部分分式展开并求逆z变换得：,2.3 离散时间傅里叶变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,FT存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,是x(n)的频谱，是连续变量w的连续复函数，而且是以2pi为周期的周期函数。,反变换,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例2.1.1 计算门

15、序列的DTFT,解：根据DTFT的定义,(线性相位) ,但需要注意该函数是不连续的（图2-3-1),幅频特性：,相频特性：,例2.1.1 用z变换计算门序列的DTFT,(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,性质1、周期性,时域离散信号傅里叶变换是频率的周期函数，周期是 。 这和模拟信号的傅里叶变换是不同的。 由于DTFT的周期性，一般只分析 之间或 之间的DTFT。,DTFT的一些性质,性质2、线性性质,性质3、时移性质,性质4、频移性质,性质5、共轭性质,这些性质和z变换的性质有不少都很相似，请大家对比学习,性质6、时域卷积定理,该定理表明在时域两序 列卷积，转换到频域服 从

16、相乘关系。,性质7、频域卷积定理,交换积分与求和的次序,该定理表明在时域两序 列相乘，转换到频域 服从卷积关系。,性质8、Parseval定理,Parseval定理说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。注意：这里频域总能量是指DTFT在一个周期中的积分再乘以 。,一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部： 共轭对称序列和共轭反对称序列 复序列中有共轭对称序列和共轭反对称序列，分别用下标e和o表示 共轭对称序列：实部是偶函数，虚部是奇函数 共轭反对称序列：实部是奇函数，虚部是偶函数,性质9、DTFT的对称性,一般序列可以表示为共轭对称部分和共轭反对称部分之和 频域函数也可以表示为共轭对称部分和共轭反对称部分之和,