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1、第5章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值去推断或表示函数的方法，它在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。对应的方法有Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。1 实际案例2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）在有限个点上的值 由表中数据构造一个函数P(x)作为f (x) 的近似函数，去参与有关f (x)的运算。科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。1）插值问题的描述已知函数在a,b上的n+1个互异点处的函数值，求f (
2、x) 的一个近似函数P (x)，满足 （5.1）l P (x) 称为f (x)的一个插值函数;l f (x) 称为被插函数;点为插值节点;l 称为插值条件;l 称为插值余项。当插值函数P (x)是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。一个代数插值函数P (x)可写为 若它满足插值条件（5.1），则有线性方程组 （5.2）当m=n，它的系数行列式为范德蒙行列式因为插值节点互异，故线性方程组（5.2）有唯一解，于是有定理5.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件的n次插值多项式。定理 满足插值条件(5.1)的n次插值多项式是唯一的。证明 设是两个满足插值条件(5.1)的n次插值多项式，于是有令
3、显然有是次数n的多项式，且说明有n+1个零点，由代数基本定理有H (x) 0，由此得。插值的一个目的是对函数作近似计算。假设a, b 是包含插值点的最小闭区间，当用插值函数P(x)来近似计算x在a, b的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。2）拟合问题的描述已知在a,b上的n+1个(互异或不互异)点处的函数值，求f (x) 的一个近似函数，满足拟合条件这里是n+1维向量，是某种范数，。求出的称为拟合函数。3）插值函数和拟合函数的几何解释1) 插值函数图示 2）拟合函数图示5.3插值法1. Lagrange插值Lagrange插值是 n次多项式插值。基本思想将待求的n次多项式插值函数
4、改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式形式求出插值多项式。1) 构造原理已知数表 设n次插值多项式 （5.3）式中是与无关的n次多项式。由插值条件（5.1），有由于与无关，可得 （5.4）为确定，注意到是n次多项式，由式（5.4）可知式中a为待定常数，由确定，于是有 （5.5）代入式（5.3），有 （5.6）由n次插值多项式的唯一性，可知就是所求的n次插值多项式。式（5.6）称为n次Lagrange插值多项式，而称为 Lagrange插值基函数。2) 分析定理3. 设函数在a,b上有n+1阶导数，是满足插值条件的n
5、次插值多项式，则有对任何成立 式中。证明 因为，故有于是Rn（x）可分解为 （5.8）为求出k(x)，做辅助函数 （5.9） 则有在时，g(t)=0，即g(t)在a,b上有n+2个零点。显然g(t)在由组成的n+1个小闭区间上满足Rolle中值定理，故g(t) 在a,b上有n+1个零点。类似的有g(t) 在a,b上有n个零点，反复运用Rolle中值定理，有在a,b上有1个零点，设为x，则有。在式（5.9）两边对t求n+1阶导数，有将t =x 代入上式，解得代入式（5.8），即得定理结果。定理3中若能算出在a,b上的最大值，则有余项估计式 （在一点的误差估计）若想估计函数在插值区间a,b上的误差
6、，要计算出，此时有区间a,b上的误差估计为 由n次插值多项式的唯一性及式（5.7），得到有如下重要结果定理4 若函数f ( x )在a,b上有n+1阶导数，则f ( x )可表示为对n=1的插值多项式，称为线性插值；n=2的插值多项式称为抛物线插值或辛普森插值.例1 已知的函数表为x3.03.13.23.33.4y=f(x)1.0986121.1314021.1631511.1939221.223775试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值，并估计相应的误差。解 线性插值需要两个节点，内插比外推好，因为，故选，由的Lagrange 插值公式，有所以有为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为由
7、n=2的Lagrange 插值公式，有故有考虑误差.当时，有，所以线性插值计算的误差估计为而当时，故抛物线插值计算的误差估计为例2在上给出的等距节点函数表，若想用二次插值来计算的近似值，并要求截断误差不超过，问此函数表的步长h应为多少？解 设为上的等距节点。二次插值需要三个节点，为满足一般性，这里取三个相邻的节点构造二次插值函数。设是上的任何三个相邻节点，则当时，有注意到。利用n=2的Lagrange余项定理，有函数在的插值余项为因为 ,所以 要，只需，得取h=0.0057可满足要求.由得，故造表时取1405个等距节点来计算函数值即可。2. Newton 插值Newton插值也是n次多项式插值
8、。1) 构造原理已知数表 设n次插值多项式为为求出 的系数，借助插值条件有当时，有，得出;当时，有,得依次取并利用插值条件就可依次解出，从而求出的具体形式。为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念。定义 已知函数f(x)在互异节点上的值分别为，记式中是中互不相同的k+1个节点，称为f(x)关于节点的k阶差商。规定零阶差商是函数值本身，于是一阶差商可写为表.1 差商表xf(x)一阶差商二阶差商n阶差商.2) 分析定理5 满足插值条件的n次Newton插值多项式的余项为 （5.14）证明 设xa,b，且是异于的任一点，则有以为插值节点的n+1次Newton插值多项式注意到，上式当t = x时，
9、有。将t = x代入上式有显然（5.14）式对 时也成立。利用插值的唯一性，由可以得到差商与微商之间的关系。例3 给定数表x124568f(x)028121828试用二次和四次Newton插值多项式计算的近似值。解 作差商表xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商1021/301/30-1/602231/31/6-1/124841-1/35126-1/36185828用二阶Newton插值近似计算，应选与5.8最近的3个节点。由表中行数据有所以有。要用来计算，取与5.8最近的5个节点由表中行数据有 所以。3. Hermite插值例4设有四阶导数，且，1）求函数的一个插值多项式，并用此近似函数来计算的近似值2）给出你所得插值多项式的误差关系式，估计近似计算的误差。解 仿照Lagrange插值函数的构造方法来做之。给定4个数据信息，选择3次多项式作为的插值多项式。令的3次插值多项式为式中都是与无关的3次多项式。插值的特点是插值函数要与给定的关于的所有数据相等，即满足插值条件由此可得有关的一组值利用这组数据，可得函数分解形式并求出。为求，找到与之有关的数据由该数据可知x=2是的二重根，且是3次多项式，故可设的分解形式为由，可以求出式中的a,b，最后求得类似地可以求出其它3个待定函数故有所求插值函数从而有，为求其余项，令由，有可分解为为
