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1、(1)直角坐标下累次积分的计算公式,Y型,X型,知识点回顾,确定累次积分限,关键,直角坐标系下的面积元素,(2) 交换二次积分的积分次序,知识点回顾,画出积分区域形状， 确定新的二次积分限,(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分,关键,重要结论,知识点回顾,(4) 应用问题 -由曲面所围成的立体体积的计算,方法,解,利用极坐标系计算,思考题,考研填空题,第 二十一章,$4 利用极坐标计算 二重积分,数学分析,利用极坐标计算二重积分-249页,极坐标系下的面积元素的确定,主要内容,二重积分转化为极坐标形式表达式,极坐标系下的二重积分化为累次积分,极坐标系下二重积分的 -计算方法,本节重点,本节关
2、键,?,极坐标系下的区域如何表示？,一、极坐标系下二重积分的表达式,极坐标系下被积函数如何表示？,利用扇形的 面积公式,（用极坐标曲线划分D）,面积元素,1. 极坐标系下的面积元素的确定,极坐标系下区域的面积,化边界曲线,化被积函数,2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式,关键,确定极坐标系下先r后 积分的方法, =, =, -型：,极坐标系下的累次积分,极坐标系下区域如图所示：,二、极坐标系下二重积分化累次积分,方法：,三线法,区域特征（一）如图：,极点在积分区域外,二重积分化为二次积分的公式（）,251页,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征（二）如图,极点在区域 D 的边界上,二重积
3、分化为二次积分的公式（）,区域特征（三）如图,极点在区域D内部,思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试问 的变化范围是什么?,答:,(1),(2),解,例题分析,印象,复杂问题简单化了！,考研填空题,解,例题分析,为极坐标下的二次积分.,练习 化二重积分,解,解,被积函数奇偶不确定,如果积分区域D为圆、 半圆、圆环、扇形域等，或被积函数 f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算.,通常出现下面两类问题：,1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分,小结,解题步骤：,1.将直角坐标系下的二
4、重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：,(1) 将 代入被积函数.,(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-做题关键,(3) 将面积元dxdy 换为 .,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.,休息一会儿,作业：P254 -1,2，,如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算.,通常出现下面两类问题：,1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分,解题步骤：,1.将直角
5、坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：,(1) 将 代入被积函数.,(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-做题关键,(3) 将面积元dxdy换为 .,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.,解,解,伯努利双曲线,例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积.,解：A=4A1,S :,Dxy: x2+y2ax, y0.,解,由对称性,例5,252-4,解,由对称性,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,极坐标系下几种形式,解法一,例5,例5,解法二,解,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,注:,利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程,上非常有用的反常积分公式,解答：,思考题,解,练 习 题,原式,思考题,思考题解答,小结,1. 积分区域的类型； 2.在直角坐标系下 化二重积分为二次积分的计算公式 3. 二重积分的计算(直角坐标系、极坐标系) 关于积分次序的选择 交换二次积分的次序 利用对称性计算二重积分 4. 二重积分的几何应用,练 习 题,练习题答案,
