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1、第四章 圆柱投影,学习目标与要求 掌握圆柱投影的一般公式及其分类 掌握等角、等面积、等距离圆柱投影的坐标与变形公式 掌握圆柱投影的变形规律及应用 学习重点 1.掌握圆柱投影的基本概念以及公式 2.掌握圆柱投影的变形分析 3.掌握圆柱投影的应用 学习难点 1圆柱投影概念及公式意义 2圆柱投影的变形规律,圆柱投影（ Cylindrical projections ）,假定以圆柱面作为投影面，把地球面上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。 当圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和地球体相割时称为割圆柱投影。 由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投影又
2、分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。,圆柱投影的概念和种类,正轴圆柱投影圆柱的轴和地球的地轴一致； 横轴圆柱投影圆柱的轴和地轴垂直并通过地心； 斜轴圆柱投影圆柱的轴通过地心，和地轴不垂直不重合。,1、经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。 2、纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影性质（等角、等积或任意）和投影条件（透视、切或割等）而异。 3、和圆柱面相切的赤道弧长或相隔的两条纬线的弧长为正长无变形。 圆柱投影按变形性质可分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影。此外，有透视圆柱投影。,在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定视点在球心，正轴圆柱投影中
3、，经纬线网的特点是：,（1）经纬网特征,（2）常见投影的特征及其用途,墨卡托投影正轴等角切圆柱投影 经纬网形状： 经纬距变化规律：纬距从赤道向两极急剧扩大。 特性：等角航线投影为直线 用途：制作航海图,空间斜轴墨卡托(SOM)投影,该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要设计的一种近似等角性质的投影。 Som投影是使圆柱与球面相切于星下线（星下点的连线）而成的。由于地球的自转，以及卫星沿轨道运动，因此该投影不仅是地面点坐标的函数，也是时间的函数。随着时间的变化，圆柱与地球两轴的关系也在发生变化。,简单投影小结,经纬网形状简单 变形规律简单：等变形线分别为平行直线、同心圆弧、同心圆 共性明显
4、,高斯克吕格投影,即横轴等角切（椭）圆柱椭圆 经纬网形状：中央经线 ，赤道为直线；其它经纬线均为曲线。 经纬距变化规律：中央经线上纬距相等；赤道上经距从中央经线向东西扩大。 变形分布规律：中央经线无长度变形，同纬线距中经愈远变形愈大，同经度距赤道愈近变形愈大。,分带投影方法：3度或6度分带，使变形限制在一定范围内，6度带边缘最大,长度变形0.138%，最大面积变形0.27% ； 3度带最大长度变形0.038%。 6度分带：从0度经线起，自西向东，经 度每6度为一投影带，全球分60个带 带号160；中国72E136E，因此6度 带包括了1323共11个带。,3度分带：从东经1度30分起向东，经
5、差3度为一带，全球120带。,用途：我国国家基本比例尺地形图中的 大中比例尺图一律采用高斯-克 格投影，1/2.5万1/50万按经差6 度分带投影，大于等于1/1万按3 度分带。 我国GIS规范和标准采用的地图 投影是该投影。,第一节 圆柱投影的一般公式及其分类,投影表象（定义） 在正轴圆柱投影中，纬线投影为平行直线，经线也是投影为平行直线且与纬线正交，两经线间的间隔与实地的经度差成正比。,一般公式,=Rcosk,(41),第二节 等角圆柱投影（墨卡托投影）与等角航线,等角、等距离、等面积或其它圆柱投影，当投影面与地球相对位置一定的情况下，其差别仅是x的表达式，也就是x大小的差别。为此我们先提
6、出等角、等距离、等面积投影的统一条件式（假定在正轴情况下）：,显然，当N=1时，构成等角条件：m=n 当N=0时，构成等距离条件：m=1， 当N=1时，构成等面积条件： m=n/1，或mn=1。,在等角圆柱投影中，微分圆的表象保持为圆形，即一点上任何方向的长度比均相等,也就是没有角度变形，即 m=n 按(41)式有 由此可求定x=f()，将上式移项积分 积分 后得 x=alnU+C 此处 C为积分常数,当=0，x=0，故C=0。化为以10为底的对数，则上式成为： 式中Mod=04342945。 在上式中尚有一个常数需要确定，为此令纬度k上长度比nk=1，则 故得 a=rk 这就是割圆柱投影常数
7、，rk为所割纬线半径。 特别当k=0 时 a=a 这就是切圆柱投影常数，0为赤道半径。 得到了a，可得本投影长度比公式：,这是一个重要的常用投影，所以我们把该投影公式汇集如下,这个投影是16世纪荷兰地图学家墨卡托(Mercator)所创造的，故又称为墨卡托投影，迄今还是广泛应用于航海、航空方面的重要投影之一。,等角航线,等角航线是地面上两点之间的一条特殊的定位线，它是两点间同所有经线构成相同方位角的一条曲线。由于这样的特性，它在航海中具有特殊意义，当船只按等角航线航行时，则理论上可不改变某一固定方位角而到达终点。等角航线又名恒向线、斜航线。它在墨卡托投影中的表象成为两点之间的直线。这点不难理解
8、，墨卡托投影是等角投影，而经线又是平行直线，那末两点间的一条等方位曲线在该投影中当然只能是连接两点的一条直线。 这个特点也就是墨卡托投影之所以被广泛应用于航海、航空方面的原因。 下面我们来研究等角航线。,设图41中等角航线方位角为a，由微分三角形ABC可得 故 予以积分 积分后得 各乘以a并移项,图41,(42),这里证明，两点间的等角航线在墨卡托投影中表现为与x轴相交成角的直线。 以度计。 等角航线的特征：等角航线是两点间对所有经线保持等方位角的特殊曲线，所以它不是大圆(对椭球体而言不是大地线)，也就不是两点间的最近路线，它与经线所交之角，也不是一点对另一点(大圆弧)的方位角。 令(42)式
9、中起点1=0、1=0，并设地球为正球体，则有,由此可见，无论=2，4或任何更大的角值，终点的纬度不可能等于90，也就是说，理论上在固定的方位角为时，按等角航线走，不可能到达极点(=90)。故等角航线是一条以极点为渐近点的螺旋曲线(图42)。,图42,等角航线有两种极限情况： 1方位角=90，则由(42)式得=0，即等角航线与经线相合(起终两点在同一经线上)。 2方位角=90，将(42)式改化(把地球作为球体)为： 因tg=90=，故必须有2=1，即等角航线与纬线相合(起终两点在同一纬线上)。,第三节 等距离圆柱投影,当N=0时，即得等距离条件，故有 移项积分后 式中s为由赤道到的子午线弧长，C
10、为常数，当横坐标轴与赤道相合，a=0时，x=0，故C=0，即 x=s (43) 至于另一个坐标y和变形表达式的推导，同等角圆柱投影相同，故从略。但须指出，在切圆柱投影中，如把地球当作球体，则 (44) 由上式可见，这时经纬网的表象成为正方形的格子，故该投影又称为方格投影。,第四节 等面积圆柱投影,当N=1时，即得等面积条件，故m=n/1，或mn=1： 故 由此可决定x，将上式积分得： 式中 ，是经差一弧度，纬差由赤道到的椭球体上的梯形面积(可在各种制图用表中查取)。当=0时，x=0，故C=0，故 此处的及另一坐标y的求法与等角圆柱投影相同，故从略。,第五节 圆柱投影变形分析及其应用,由研究圆柱
11、投影长度比的公式(指正轴投影)可知，圆柱投影的变形，象圆锥投影一样，也是仅随纬度而变化的。在同纬线上各点的变形相同而与经度无关。因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线相合，成为平行直线(图43)。,图43,圆柱投影中变形变化的特征是以赤道为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相同。 因标准纬线不同可分成切(切于赤道)圆柱及割(割于南北同名纬线)圆柱投影。 在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬度的增加而增大。 在割圆柱投影中，在两条标准纬线(k)上没有变形，自标准纬线向内(向赤道)及向外(向两极)增大。 圆柱投影中经线表象为平行直线，这种情况与低纬度处经线的近似平行相一致。因此，圆柱投影一
12、般较适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。,墨卡托投影除了编制海图外，在赤道附近，例如印度尼西亚、赤道非洲、南美洲等地区，也可用来编制各种比例尺地图。我国1958年出版的“世界地图集”的爪哇岛图幅采用过该投影。 墨卡托投影因其经线为平行直线，便于显示时区的划分，故较多用来编制世界时区图。 现代人造地球卫星运行轨道等宇航图也是在墨卡托投影图上反映出来，在这种地图上可以表示大于经度360的范围。 国外地图和地图集中也经常看到用这种投影编制的地图，例如：法国的国际政治与经济地图集中的新旧大陆自然图、新旧大陆航空路线图、新旧大陆交通图；英国太晤土地图集中的太平洋、大西洋；德国斯底莱大地图集中的世界图。苏联海图
13、集第一卷主要用的也是墨卡托投影。,墨卡托投影在编绘海图中的应用,选定基准纬线，即标准纬线。为使图幅中变形尽可能缩小和分布均匀，要选定适当的基准纬线。 渐长区间及其计算。为了满足航行定位与量距的需要，在每一海图的图廓线上，都要绘有经纬度的细分分划。对于墨卡托投影，上下图廓的细分显然与经差成正比，只要按需要等分加密即可。但东西图廓因纬度增大纵坐标加速增大，即所谓“渐长”的特点，不能用一般平均细分的方法来加密纬线。而只能把纵图廓线分成若干小段，使每一小段误差小于图上距离01毫米的范围内可以进行平均细分。根据这个条件确定的细分区间，称为渐长区间。,渐长区间用以下公式计算： 式中：渐长区间值，以“分”为单位， C0主比例尺分母； 0基准纬度； 海图上距基准纬度最远处的纬度。 当基准纬度在海图中央或细分区域在基准纬度附近时，可以用0代替，则上式简化为,正轴等距离圆柱投影在量算上的应用,设地球为球体，圆柱切于赤道，一定密度的经纬线表象，在本投影中成为一套方格网。这种投影构网简单，经纬度按正比例表示，极便于准确量算点位的地理坐标或按地理坐标确定点位。,
