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1、1 概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案 1 设二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值：)0 , 0(，) 1 , 1(，) 3 1 , 1(及)0 , 2(， 且取这几组值的概率依次为 6 1 ， 3 1 ， 12 1 和 12 5 ，求二维随机变量),(YX的联合 分布律 解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(YX的联合分布律为 X Y 0 3 1 1 10 12 1 3 1 0 6 1 00 2 12 5 00 2某高校学生会有 8 名委员，其中来自理科的 2 名，来自工科和文科的各 3 名 现从 8 名委员中随机地指定 3 名担任
2、学生会主席 设X，Y分别为主席来自理 科、工科的人数， 求：(1),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律 解：(1) 由题意，X的可能取值为 0，1，2，Y的可能取值为 0，1，2，3，则 56 1 )0, 0( 3 8 3 3 C C YXP， 56 9 ) 1, 0( 3 8 1 3 2 3 C CC YXP， 56 9 )2, 0( 3 8 2 3 1 3 C CC YXP， 56 1 )3, 0( 3 8 3 3 C C YXP， 28 3 )0, 1( 3 8 2 3 1 2 C CC YXP， 28 9 ) 1, 1( 3 8 1 3 1 3 1 2 C CCC YXP，
3、28 3 )2, 1( 3 8 2 3 1 2 C CC YXP，0)3, 1(YXP， 56 3 )0, 2( 3 8 1 3 2 2 C CC YXP， 56 3 ) 1, 2( 3 8 1 3 2 2 C CC YXP， 0)2, 2(YXP，0)3, 2(YXP ),(YX的联合分布律为： 2 X Y 0123 i p 0 56 1 56 9 56 9 56 1 14 5 1 28 3 28 9 28 3 0 28 15 2 56 3 56 3 00 28 3 j p 28 5 28 15 28 15 56 1 1 (2)X的边缘分布律为 X012 P 14 5 28 15 28 3
4、Y的边缘分布律为 Y0123 P 28 5 28 15 28 15 56 1 3设随机变量),(YX的概率密度为 其他, 0 , 42 , 20),6( ),( yxyxk yxf 求：(1) 常数k；(2)3, 1(YXP；(3)5 . 1(YP；(4)4(YXP 解：方法 1： (1) 4 2 2 0 dd)6(dd),(1yxyxkyxyxf 4 2 2 0 2 d| ) 2 1 6(yyxxxkkyyk8d)210( 4 2 ， 8 1 k (2) 31 dd),()3, 1(yxyxfYXP 3 2 1 0 2 dd) 2 1 6(yxyxxx 3 2 1 0 2 d| ) 2 1
5、6( 8 1 yyxxx 8 3 | ) 2 1 2 11 ( 8 1 3 2 2 yy (3), 5 . 1()5 . 1(YXPXP 5 . 1 dd)6( 8 1 yxyx 4 2 5 . 1 0 dd)6( 8 1 yxyxyyxxxd ) 2 1 6( 8 1 4 2 2 3 32 27 | ) 4 3 8 63 ( 8 1 4 2 2 yy (4) 4 dd),()4( yx yxyxfYXP 2 0 4 2 d)6(d 8 1 x yyxx 2 0 2 d)812( 2 1 8 1 xxx 3 2 | ) 3 1 412( 16 1 2 0 32 xxx 方法 2：(1) 同方法
6、 1 (2)20 x，42 y时， yx vuvufyxFdd),(),( yx vuvu 20 dd)6( 8 1 y x vuvuu 2 0 2 d| ) 2 1 6( 8 1 y vxvxx 2 2 d) 2 1 6( 8 1 y xvvxxv 2 22 | ) 2 1 2 1 6( 8 1 )10 2 1 2 1 6( 8 1 222 xxyyxxy， 其他，0) ,(yxF， 其他, 0 , 42 , 20),10 2 1 2 1 6( 8 1 ),( 222 yxxxxyyxxy yxF 8 3 )3 , 1 ()3, 1(FYXP (3)42 , 5 . 1(), 5 . 1()
7、5 . 1(YXPYXPXP )2, 5 . 1()4, 5 . 1(YXPYXP 32 27 )2 , 5 . 1 ()4 , 5 . 1 (FF (4) 同方法 1 4设随机变量),(YX的概率密度为 其他, 0 , 0, 0,e ),( 2 yxA yxf yx 求：(1) 常数A；(2),(YX的联合分布函数 解：(1) 00 2 ddedd),(1yxAyxyxf yx 00 2 dedeyxA yx 2 | )e 2 1 (| )e( 0 2 0 A A yx ， 2A 4 (2)0x，0y时， yx vuvufyxFdd),(),( yx vu vu 00 2 dde2 yvxu
8、 0 2 0 | )e 2 1 (| )e(2 )e1)(e1 ( 2yx ， 其他，0),(yxF， 其他, 0 , 0, 0),e1)(e1 ( ),( 2 yx yxF yx 5设随机变量),(YX的概率密度为 其他, 0 , 10 , 10 , ),( yxAxy yxf 求：(1) 常数A；(2),(YX的联合分布函数 解：(1) 2 1 2 1 dddd),(1 1 0 1 0 AyyxxAyxyxf， 4A (2)10 x，10 y时， yx vuvufyxFdd),(),( yx vuuv 00 dd4 22 0 2 0 2 |yxvu yx ， 10 x，1y时， yx vu
9、vufyxFdd),(),( 1 00 dd4 x vuuv 21 0 2 0 2 |xvu x ， 10 y，1x时， yx vuvufyxFdd),(),( 1 00 dd4 y uvuv 2 0 21 0 2 |yvu y ， 1x，1y时， yx vuvufyxFdd),(),( 1 0 1 0 dd4vuuv1| 1 0 21 0 2 vu， 其他，0),(yxF， 5 其他, 0 , 1, 1, 1 , 10 , 1, , 1, 10, , 10 , 10 , ),( 2 2 22 yx yxy yxx yxyx yxF 6把一枚均匀硬币掷 3 次，设X为 3 次抛掷中正面出现的次
10、数，Y表示 3 次抛 掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求： (1),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律 解：由题意知，X的可能取值为 0，1，2，3；Y的可能取值为 1，3易知 0) 1, 0(YXP， 8 1 )3, 0(YXP， 8 3 ) 1, 1(YXP，0)3, 1(YXP 8 3 ) 1, 2(YXP，0)3, 2(YXP，0) 1, 3(YXP， 8 1 )3, 3(YXP 故),(YX得联合分布律和边缘分布律为： 7在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固 3 只螺栓；二 是焊接 2 处焊点， 以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目， 以
11、Y表示 由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(YX具有联合分布律如下表： X Y0 123 084. 003. 002. 001. 0 106. 001. 0008. 0002. 0 201. 0005. 0004. 0001. 0 求：(1) 在1Y的条件下，X的条件分布律； (2) 在2X的条件下，Y的条件分布律 解：(1) 因为 Y X 0123 j p. 10 8 3 8 3 0 4 3 3 8 1 00 8 1 4 1 i p 8 1 8 3 8 3 8 1 1 6 )3, 3() 1, 2() 1, 1() 1, 0() 1(YXPYXPYXPYXPYP 08. 0002. 000
12、8. 001. 006. 0， 所以 4 3 ) 1( ) 1, 0( ) 1|0( YP YXP YXP， 8 1 ) 1( ) 1, 1( ) 1| 1( YP YXP YXP， 10 1 ) 1( ) 1, 2( ) 1|2( YP YXP YXP， 40 1 ) 1( ) 1, 3( ) 1|3( YP YXP YXP， 故在1Y的条件下，X的条件分布律为 X0123 P 4 3 8 1 10 1 40 1 (2) 因为)2, 2() 1, 2()0, 2()2(YXPYXPYXPXP 032. 0004. 0008. 002. 0， 所以 8 5 )2( )0, 2( )2, 0(
13、XP YXP XYP，4 )2( ) 1, 2( )2, 1( XP YXP XYP， 8 1 )2( )2, 2( )2, 2( XP YXP XYP， 故在2X的条件下，Y的分布律为： Y012 P 8 5 4 1 8 1 8设二维随机变量),(YX的概率密度函数为 其他, 0 , 0, 0,e ),( )2( yxc yxf yx 求：(1) 常数c； (2)X的边缘概率密度函数； (3)2(YXP； (4) 条件概率密度函数)|( | yxf YX ，)|( | xyf XY 解：(1) 00 )2( ddedd),(1yxcyxyxf yx 7 00 2 dedeyxc yx 2 | )e(| )e 2 1 ( 00 2 c c yx ， 2c (2)0x时， yyxfxfXd),()( 0 )2( de2y yxxyx2 0 2 e2| )e(e2 ， 0x时，0)(xfX， 0, 0 , 0,e2 )( 2 x x xf x X ， 同理 0, 0 , 0,e )( y y yf y Y (3) 2
