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1、 CT 原理与图像重建算法 CT 原理与图像重建算法 第一章第一章 绪论绪论 第一节第一节 CT 的历史与发展的历史与发展 第二节第二节 若干基本概念若干基本概念 第三节第三节 经典断层成像技术经典断层成像技术 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和 （的均值） 。 迭代重建算法 工业 CT 图像 重建算法 平行束投影 重建算法 直接 Fourier 变换重建算法 滤波反投影重建算法 Radon 反演算法 平行束反投影 滤波重建算法 一元函数的 Hilber 变换 有限区间上的 Hilbert 变换 图像的 Hilbert 变换 扇束束反投影 滤波重建算法
2、 CT 原理与图像重建算法 图 1.1 经典断层成像示意图 相比于 X 光摄影术，计算机断层成像技术具有对软组织分辨能力高、投影剂量小、动态 范围大、无损检测和存储方便等优势。因为 CT 的投影数据 100%只依赖于成像断面内物体的 密度，不涉及其它截面，这样以来有效地排除了无关截面对成像断面图像的干扰，彻底解决 了影像重叠问题，计算机数字化处理得出各种物质的 CT 数（Houndsfield 数） ： t 是物质的衰减系数，w 是水的衰减系数。 第二章第二章 从投影重建图像算法从投影重建图像算法 I：反投影重建算法（累加法）：反投影重建算法（累加法） 第一节第一节 反投影重建算法的物理概念反
3、投影重建算法的物理概念 第二节第二节 反投影重建算法的数学描述反投影重建算法的数学描述 整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。 射线标号示于图 1.2 中， 像 素值（代表密度）分别 1 x, 2 x, 3 x, 4 x，赋值如下: 1 5x =, 2 0x =, 3 2x =, 4 18x = 根据投影的定义(某条射线投影值为该条射线穿过的所 有的像素值之和)，每条射线的投影 i p(1,2i =)为： 121 5pxx=+=, 234 20pxx=+=, 313 7pxx=+= 424 18pxx=+=, 53 2px=, 614 23pxx=+= 72 0px= 50 2 18
4、 (1) (2) (3)(4) (5) (6) (7) 图 1.2 断层像素值和射线 CT 原理与图像重建算法 根据反投影重建算法的物理意义，重建图像中各像素，得到： 1136 35xppp=+=， 2147 23xppp=+=， 3235 29xppp=+=， 4246 61xppp=+= 5 2 18 0 35 29 61 26 5 4.1 8.7 3.3 (a) 原图像像素值 (b)反投影重建后图像 (c)求平均后图像 图 1.3 反投影示例 重建后的图像如图 1.3(b)所示，可以看出原图像中像素值不为零的点反投影重建后仍 较突出，但原图中像素值为零的点，经反投影重建后不再为零，即有
5、伪迹。有时为了使重建 后图像的像素值更接近于原图的像素值， 在求反投影时， 把数据除以投影的数目 （即射线数） ， 如图 1.3(c)所示。 因此有： , 1 1 p n kk i i p xp n = = (1.1) 该式可作为反投影重建算法的计算式。其中 k x表示像素k的值， ik p , 表示经过像素k 的第i条射线投影， p n表示图像内的射线条数。 图 1.4(a)表示空间中一个孤立点源 A，密度为 1。经过 A 点的三条射线也示于图中。 射线束理论上可以很多，取三条示意。不经过 A 点的射线投影为零，经过 A 点的射线投影 值均为 1， 123 1ppp=。 (a) 孤立点源 A
6、 及三条射线 (b)相应的反投影重建图，有星状伪迹 图 1.4 孤立点源的反投影重建及星状伪迹 经反投影重建后，得到 A 点的像素值为 123 ()/31 A fppp=+=。A 点以外的像素值原 来为零，经反投影重建后不等于零，而是等于 1/3。所以，经反投影重建后的图像除保留 A 点的像外，还有像素值为 1/n 的灰雾背景，后者称为星状伪迹。产生星状伪迹的原因在于： 反投影的本质是把取自有限物体空间的投影均匀地回抹 （反投影） 到射线所及的无限空间的 各点上，包括原先像素值为零的点。 第三节第三节 正炫图（正炫图（Singogram） 第四节第四节 反投影重建算法的实现反投影重建算法的实现
7、 常用的有紧邻内插与线性内插。 A (1) (2) (3) A CT 原理与图像重建算法 第三章第三章 从投影重建图像算法从投影重建图像算法 II：滤波反投影重建算法：滤波反投影重建算法 第一节第一节 滤波反投影重建算法概述滤波反投影重建算法概述 反投影重建算法的缺点缺点是引入星状伪迹， 即原来图像中密度为零的点， 重建后不一定为 零，从而使图像失真。 修正方法修正方法： 去除伪迹的一个可能方案， 即让反投影重建后的图像经过一只传递函数二维 滤波器进行滤波。 我们把“取投影” 、 “反投影重建” 、 “重建后图像”这些环节看作是一个以原像为 输入，重建后图像为输出的成像系统，如图 3.1 所
8、示，先来求该系统的点扩展函数 PSF。 图 3.2 中，( , )x y为固定坐标，(,) rr xy为旋转坐标，( , )r 为极坐标，设位于坐标原点0,0xy=的点源( , )x y为xy 断面中唯一的像点，扫描方式为平移加旋转。即射线先平行移 动，从物体的一侧移向另一侧；然后旋转一个角度，如此 继续，直到累计的旋转角达到180 。 为止。为了计及这一 几何要求我们设置一旋转坐标系统 rr xy， 它绕原点转动使投 影总是沿着 r y方向， rr xy的原点与xy的原点相同。二者 的夹角为，不同的代表不同的投射方向。投影线的位置可 由(, ) r x完全确定。 设为离散取值，如 i =，则
9、相应的投影为： ()(,)(,)(,) () ()()|( cos() i i rrirrrrrrr rrrri pxp xfxy dyxy dy xy dyxr + + = = = (2.1) 其中cos() r xr=，这可以从图 3.2 的几何关系很容易得出。 若 n =，则相应的投影为： cos n n pr =() (2.2) 根据反投影重建的定义式(1.1),点(,) rr xy的图像在所述坐标系统中表示为： cos() 11 1 11 ( , )(,)()|cos() 1 cos() irii i NN rrrxri ii N i i f rf xypxp x r NN pr p
10、 = = = = = (2.3) 其中，N为投影数，/ Np=。若在有限区间内将射线增至不相重的无限条，即连续取 取投影 反投影重建 ( , )x y ( , )h x y 重建后图像 原像 图 3.1 “反投影重建”成像系统 r x 0 r ( , )f r x y r y 图 3.2 平移加旋转扫描方式所用坐标 CT 原理与图像重建算法 投影，则有： 0 1 ( , )cos()f rprd p p = (2.4) 在忽略射束硬化的情况下，在( ,2 )pp区间内的投影值等于(0, )p区间内的投影值。 在输入图像为点源的情况下，由(2.1)及(2.4)可得： 0 1 ( , )cos(
11、)h rrd p p = (2.5) 因为， 0 0 () ( ) () a a =(此公式推导可参见附录一)，其中， 0 是( )0a=的唯一的根。 令( )cos()ar=，则有： 00 ()cos()0ar= 因为0r ，所以 0 sin()1=，于是有： 0 00 0 22 0 ()11 ( , )cos() sin() 111 11 sin() h rrdd r rr xy pp pp pp p = = + (2.6) 可见，相应于反投影重建算法的系统，它的点扩展函数不是函数，系统不是完美的。 虽然在0r =处能反映原图是点源的情况，但在0r 处，像素值0，上式定量地描述了反 投影重
12、建算法星状伪迹的本质。 若原像为( , )x y，则将原像取投影后再按反投影算法得到的重建图像为： ( , )( , )( , )f x yx yh x y=，其中表示二维卷积。 要去除反投影算法的星状伪迹， 可以在输出端加一滤波器， 使加了滤波器后的反投影重 建等效成像系统的点扩展函数(PSF)为( , )x y。设滤波器的 PSF 为( , )q x y，相应的传递函 数为 2 ( , )( , )QF q x yx =，要求(式 2.7 的推导可参见附录一)： 做二维傅氏变换，得： 22 1 ( , )1Qx p x = + 或： 22 ( , )Qx p xp=+= (2.8) 这是一
13、个二维滤波器，实现起来较麻烦。若的变化范围扩至，则根本不能实现。 但它提供了去除星状伪迹的一个方向。 22 1 ( , )( , )q x yx y xy p = + (2.7) CT 原理与图像重建算法 第二节第二节 投影定理投影定理（或中心切片定理）（或中心切片定理） 在非衍射源情况下，某图像( , )f x y在视角为时投影() r px 的一维傅氏变换给出 ( , )f x y的二维傅氏变换 12 (,)( , )AA =的一个切片。切片与 1 轴相交成角，且通过坐 标原点。即： 1 ()( , )| r FpxA = 固定 (3.1) 图 3.2 阐明投影定理 证明：()f x,y
14、的二维傅立叶变换为 12 () 12 ,)() -jxy A(f x,y edxdy + + = (3.2) 由图 3.2 可以得到如下几何关系 cossin sincos r r xx yy = (3.3) 以 r y为投影轴的投影为：()()() rrrrrr pxf x,y dyfx ,y dy + = 它的一维傅里叶变换为： 1 () r px 12 (,)A 2 r x y r y r x x 0 二维傅立 叶变换 一维傅氏变换 CT 原理与图像重建算法 1 ( cossin ) ()() () () r r -j2x rrr -j2x rrrrr -j2xy F pxpx edx fx ,y edx dy f x,y edxdy p p p + + + + = = = (3.4) 式中采用2p可以使后续反变换计算中的系数得以简化。 在推导上式的过程中，我们利用了下列关系： ()() rrr f x,yfx ,y= 以及 cossin sincos rr rr rr xx xy dx dydxdydxdy yy xy = (3.5)
