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1、19春福师实变函数在线作业一 - 一、判断题共37题，74分1、三大积分收敛定理是积分论的中心结果。A错误B正确本题正确的选项是：B2、测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A错误B正确本题正确的选项是：A3、若fBV,则f有界。A错误B正确本题正确的选项是：B4、一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.A错误B正确本题正确的选项是：A5、g的连续点是L点，但L点未必是连续点.A错误B正确本题正确的选项是：B6、存在某区间a,b上增函数f，使得f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) .A错误B正确本题正确的选项是：B7、若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可
2、测函数.A错误B正确本题正确的选项是：A8、绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。A错误B正确本题正确的选项是：B9、集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A错误B正确本题正确的选项是：B10、若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.A错误B正确本题正确的选项是：A11、若f广义R可积且f不变号，则f L可积.A错误B正确本题正确的选项是：B12、存在0,1上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等A错误B正确本题正确的选项是：B13、连续函数和单调函数都是有界变差函数.A错误B正确本题正确的选项是：A14、若f,gBV，则f+g,f-g,fg均属于BV。A错误B
3、正确本题正确的选项是：B15、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。A错误B正确本题正确的选项是：B16、R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.A错误B正确本题正确的选项是：B17、fBV，则f几乎处处可微，且fL1a,b.A错误B正确本题正确的选项是：B18、若fAC，则f是连续的有界变差函数，即fCBV.A错误B正确本题正确的选项是：B19、一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A错误B正确本题正确的选项是：A20、f,gM(X),则fgM(X).A错误B正确本题正确的选项是：B21、若f可
4、测，则|f|可测，反之也成立.A错误B正确本题正确的选项是：A22、L积分比R积分更广泛，且具有优越性。A错误B正确本题正确的选项是：B23、若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A错误B正确本题正确的选项是：A24、设f是区间a,b上的有界实函数，则f在a,b上R可积，当且仅当f在a,b上几乎处处连续.A错误B正确本题正确的选项是：B25、零测度集的任何子集都是可测集.A错误B正确本题正确的选项是：A26、闭集套定理的内容是：F_k是Rn中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.A错误B正确本题正确的选项是：B27、增函数f在a,b上至多有可数个间断点，且
5、只能有第一类间断点.A错误B正确本题正确的选项是：B28、若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差.A错误B正确本题正确的选项是：B29、可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集A错误B正确本题正确的选项是：B30、测度为零的集称为零测集.A错误B正确本题正确的选项是：B31、若fBV当且仅当f是两个增函数之差。A错误B正确本题正确的选项是：B32、利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。A错误B正确本题正确的选项是：B33、L积分下Newt
6、on-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。A错误B正确本题正确的选项是：B34、若f,gAC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。A错误B正确本题正确的选项是：B35、若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A错误B正确本题正确的选项是：B36、无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A错误B正确本题正确的选项是：A37、f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f0)有sigma-有限测度。A错误B正确本题正确的选项是：B二、单选题
7、共5题，10分1、下列关系式中不成立的是（ ）Af(Ai)=f(Ai)Bf(Ai)=f(Ai)C(AB)0=A0B0D(Ai)c=(Aic)本题正确的选项是：B2、开集减去闭集其差集是（ ）A闭集B开集C非开非闭集D既开既闭集本题正确的选项是：B3、在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.AmE=0B0mE+CmE=+D0=mE0,a.e.是Efndx-0（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D非充分非必要条件本题正确的选项是：D5、若fL(X),则Af在X上几乎处处连续B存在gL(X)使得|f|=gC若Xfdu=0,则f=0,a.e.本题正确的选项是：B三、多选题共8题，16分1、
8、在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）Af在R上处处不连续Bf在R上为可测函数Cf几乎处处连续Df不是可测函数本题正确的选项是：AB2、设f为a,b上增函数，则f为（ ）A几乎处处可微BL可积Cf可积D区间a,b上积分值f(x)dx=f(b)-f(a)本题正确的选项是：ABC3、f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上A有L积分值B广义R可积CL可积D积分具有绝对连续性本题正确的选项是：AD，B是两个集合，则下列正确的是（ ）Af1(f（A）)=ABf1(f（A）)包含ACf(f1（A）)=ADf(AB)包含f(A)f(B)本题正确的选项是：BCD5、若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）Af+g不可测Bfg不可测Cg2可测D|g|可测本题正确的选项是：ACD6、设f为a,b上减函数，则f为（ ）A有界函数B可测函数C有界变差函数D绝对连续函数本题正确的选项是：ABC7、设E为Rn中的一个不可测集，则其特征函数是A是L可测函数B不是L可测函数C有界函数D连续函数本题正确的选项是：BC8、设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）Afn测度收敛于|f|Bafn+bgn测度收敛于af+bgC(fn)2测度收敛于f2Dfngn测度收敛于fg本题正确的选项是：AB
