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1、19春福师实变函数在线作业一 - 一、判断题共37题,74分1、三大积分收敛定理是积分论的中心结果。A错误B正确本题正确的选项是:B2、测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.A错误B正确本题正确的选项是:A3、若fBV,则f有界。A错误B正确本题正确的选项是:B4、一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.A错误B正确本题正确的选项是:A5、g的连续点是L点,但L点未必是连续点.A错误B正确本题正确的选项是:B6、存在某区间a,b上增函数f,使得f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) .A错误B正确本题正确的选项是:B7、若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可
2、测函数.A错误B正确本题正确的选项是:A8、绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。A错误B正确本题正确的选项是:B9、集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A错误B正确本题正确的选项是:B10、若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.A错误B正确本题正确的选项是:A11、若f广义R可积且f不变号,则f L可积.A错误B正确本题正确的选项是:B12、存在0,1上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等A错误B正确本题正确的选项是:B13、连续函数和单调函数都是有界变差函数.A错误B正确本题正确的选项是:A14、若f,gBV,则f+g,f-g,fg均属于BV。A错误B
3、正确本题正确的选项是:B15、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。A错误B正确本题正确的选项是:B16、R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.A错误B正确本题正确的选项是:B17、fBV,则f几乎处处可微,且fL1a,b.A错误B正确本题正确的选项是:B18、若fAC,则f是连续的有界变差函数,即fCBV.A错误B正确本题正确的选项是:B19、一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A错误B正确本题正确的选项是:A20、f,gM(X),则fgM(X).A错误B正确本题正确的选项是:B21、若f可
4、测,则|f|可测,反之也成立.A错误B正确本题正确的选项是:A22、L积分比R积分更广泛,且具有优越性。A错误B正确本题正确的选项是:B23、若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).A错误B正确本题正确的选项是:A24、设f是区间a,b上的有界实函数,则f在a,b上R可积,当且仅当f在a,b上几乎处处连续.A错误B正确本题正确的选项是:B25、零测度集的任何子集都是可测集.A错误B正确本题正确的选项是:A26、闭集套定理的内容是:F_k是Rn中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.A错误B正确本题正确的选项是:B27、增函数f在a,b上至多有可数个间断点,且
5、只能有第一类间断点.A错误B正确本题正确的选项是:B28、若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x)也是有界变差.A错误B正确本题正确的选项是:B29、可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集A错误B正确本题正确的选项是:B30、测度为零的集称为零测集.A错误B正确本题正确的选项是:B31、若fBV当且仅当f是两个增函数之差。A错误B正确本题正确的选项是:B32、利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。A错误B正确本题正确的选项是:B33、L积分下Newt
6、on-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。A错误B正确本题正确的选项是:B34、若f,gAC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。A错误B正确本题正确的选项是:B35、若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A错误B正确本题正确的选项是:B36、无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.A错误B正确本题正确的选项是:A37、f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f0)有sigma-有限测度。A错误B正确本题正确的选项是:B二、单选题
7、共5题,10分1、下列关系式中不成立的是( )Af(Ai)=f(Ai)Bf(Ai)=f(Ai)C(AB)0=A0B0D(Ai)c=(Aic)本题正确的选项是:B2、开集减去闭集其差集是( )A闭集B开集C非开非闭集D既开既闭集本题正确的选项是:B3、在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.AmE=0B0mE+CmE=+D0=mE0,a.e.是Efndx-0( )A充分条件B必要条件C充要条件D非充分非必要条件本题正确的选项是:D5、若fL(X),则Af在X上几乎处处连续B存在gL(X)使得|f|=gC若Xfdu=0,则f=0,a.e.本题正确的选项是:B三、多选题共8题,16分1、
8、在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )Af在R上处处不连续Bf在R上为可测函数Cf几乎处处连续Df不是可测函数本题正确的选项是:AB2、设f为a,b上增函数,则f为( )A几乎处处可微BL可积Cf可积D区间a,b上积分值f(x)dx=f(b)-f(a)本题正确的选项是:ABC3、f(x)=1,x(-,+),则f(x)在(-,+)上A有L积分值B广义R可积CL可积D积分具有绝对连续性本题正确的选项是:AD,B是两个集合,则下列正确的是( )Af1(f(A))=ABf1(f(A))包含ACf(f1(A))=ADf(AB)包含f(A)f(B)本题正确的选项是:BCD5、若f不可测,g可测,则下列正确的是( )Af+g不可测Bfg不可测Cg2可测D|g|可测本题正确的选项是:ACD6、设f为a,b上减函数,则f为( )A有界函数B可测函数C有界变差函数D绝对连续函数本题正确的选项是:ABC7、设E为Rn中的一个不可测集,则其特征函数是A是L可测函数B不是L可测函数C有界函数D连续函数本题正确的选项是:BC8、设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )Afn测度收敛于|f|Bafn+bgn测度收敛于af+bgC(fn)2测度收敛于f2Dfngn测度收敛于fg本题正确的选项是:AB