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1、2.3.1 双曲线及其标准方程,问题1:椭圆的定义是什么?,问题2:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),(1)取一条拉链，拉开一部分 (2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点 F1、F2 (3)把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;,记 |
2、F1F2|=2c 焦距.,（1）2a2c ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,（2）2a 0 ；,双曲线定义,|MF1|-|MF2|=2a ( 2a2c),注意,问题3:定义中为什么要强调差的绝对值？,双曲线右支,双曲线左支,问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？,若2a= |F1F2 | = 2c,则轨迹是什么？,若2a |F1F2 | = 2c,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,若2a = 0,则图形是什么?,生活中的双曲线,求曲线方程的步骤
3、：,1.建系:,2.设点:,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),4.代入坐标:,|MF1| - |MF2|=2a,5.化简:,3.找限制条件:,（x , y）,在椭圆中,在双曲线中,得到焦点在x轴上的双曲线标准方程,比较,如果焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为：,其焦点坐标为(0,-c)，(0,c),表示焦点在x轴上的双曲线,表示焦点在y轴上的双曲线,问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？,哪个系数是正的，它对应的字母（x或y）就是焦点所在轴,结论,x,y,F1,(0,-c),M,(x,y),F2,(0,c),O,其中： ,方程,焦点,a.b.c 的
4、关系,图形,定义,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F(0, c),焦点在X轴上,焦点在Y轴上,F ( c, 0),焦点位置,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,问题5:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,例：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,椭圆以大小论长短,双曲线以正负定实虚,课本例2,求适合下列条
5、件的双曲线的 标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在x轴上； (2)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5),练习 1,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=3
6、40,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,(x,y),如图,设点，的坐标分 别为(-5,0)，(5,0)直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是 ，求点的轨迹方程,例 2,x,y,O,A,B,M,解：设点的坐标为(x,y) ,因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简,得点M的轨迹方程为,求证：双曲线 与椭圆 的焦点相同,证明：双曲线化为标准方程,因为,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),练习 3,因为椭圆中,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),所以双曲线与椭圆的焦点相同,（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦
7、点所在的坐标轴。,表示焦点在 轴上的双曲线；,表示焦点在 轴上的双曲线。,总结提升,答：在 X 轴。（-5，0）和（5，0）,答：在 y 轴。（0，-13）和（0，13）,答：在x 轴。（ -1 ，0 ）和（ 1， 0）,判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在正的的那个轴上。,1.判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标和焦距。,练习,4、若M为双曲线 上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，并且MF1=8,则MF2= .,3、已知双曲线的方程为： ，请填空： a= ，b= ，c= ， 焦点坐标为 ，焦距等于 .,2、a=4，c=5的双曲线标准方程是？,10,
8、6,8,20,(-10,0)、(10,0),2或14,或,A、B 异号时,什么时候表示椭圆呢？,AB且A,B,C同号,问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,椭圆以大小论长短,双曲线以正负定实虚,例 题,例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.,变题1:将条件改为P到F1,F2的距离的差等于8,如何?,变
9、题2:将条件改为P到F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?,小结：求标准方程要做到先定型，后定量。,如果我是双曲线, 你就是那渐近线. 如果我是反比例函数, 你就是那坐标轴. 虽然我们有缘, 能够生在同一个平面. 然而我们又无缘, 慢慢长路无交点. 为何看不见, 等式成立要条件. 难到正如书上说的, 无限接近不能达到. 为何看不见, 明月也有阴晴圆缺, 此事古难全, 但愿千里共婵娟.,双曲线的定义 与标准方程,请欣赏,类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？,双曲线 上一点P到焦点F1 的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离 是 _,a=8,练习 1,判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦
10、点坐标和焦距,(2)a=4,b=3,c=5, 焦点在y轴， 焦点(0，-5)、(0，5)，焦距为10,(1)a=6,b=8,c=10, 焦点在x轴， 焦点(-10，0)、(10，0)，焦距为20；,思考?,22,|PF1|-|PF2|=2a=16=6-_,22,（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,表示焦点在 轴上的双曲线；,表示焦点在 轴上的双曲线。,总结提升,生活中的双曲线,求适合下列条件的双曲线的 标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在x轴上； (2)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5),练习 2,如图,设点，的坐标分 别为(-5,0)，(5,0)直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是 ，求点的轨迹方程,例 2,x,y,O,A,B,M,解：设点的坐标为(x,y) ,因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简,得点M的轨迹方程为,求证：双曲线 与椭圆 的焦点相同,证明：双曲线化为标准方程,因为,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),练习 3,因为椭圆中,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),所以双曲线与椭圆的焦点相同,小结,1,2,双曲线的定义,双曲线的标准方程,
