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1、 硕士学位论文硕士学位论文 鞅理论及其在某些金融模型中的应用 鞅理论及其在某些金融模型中的应用 MARTINGALE THEORY AND ITS APPLICATIONS IN SOME FINANCIAL MODELS 付蔷付蔷 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 2012 年年 7 月月 国内图书分类号：O211.6 学校代码：10213 国际图书分类号：519.21 密级：公开 理学硕士学位论文理学硕士学位论文 鞅理论及其在某些金融模型中的应用 硕 士 研 究 生 ：付蔷 导 师 ：王力副教授 申请学位 ：理学硕士 学科 ：概率论与数理统计 所 在 单 位 ：理学院数学系 答 辩 日 期
2、：2012 年 7 月 授 予 学 位 单 位 ：哈尔滨工业大学 Classified Index: O211.6 U.D.C.: 519.21 Dissertation for the Master Degree in Science MARTINGALE THEORY AND ITS APPLICATIONS IN SOME FINANCIAL MODELS Candidate： Fu Qiang Supervisor： Assoc. Prof. Wang Li Academic Degree Applied for： Master of Science Speciality： Proba
3、bility Theory and Mathematical Statistics Affiliation： Department of Mathematics Date of Defence： July, 2012 Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 I 摘 要 鞅论是概率论中的一个重要独立分支，是概率论与随机过程等方面的基础。 鞅理论具有很多的实际意义，在定价决策和控制模型中都起着重要的作用，我们 可以通过鞅论框架的构造使复杂问题简单化，因此被广泛使用，同时鞅论还渗透 到
4、统计分析、调和分析、Banach 空间几何学以及随机分析等方面，同时取得了丰 富的成果。 本文主要内容分为两部分，第一部分综述了鞅的理论，分经典鞅论和现代鞅 论两部分来介绍，经典鞅论内容主要包括离散时间参数鞅和连续时间参数鞅的定 义、性质、不等式、收敛定理、停时定理等。现代鞅论内容主要包括鞅的分解、 可积变差鞅、平方可积鞅、局部鞅、半鞅、鞅的极限理论和鞅观点下的随机积分 问题。其中鞅理论和随机积分知识相结合形成鞅方法，在金融领域有很重要的实 际意义。 第二部分的内容主要是关于鞅理论的应用，我们分别引入了单期模型、多期 模型和经典的 BlackScholes 期权定价模型，通过鞅理论的知识对这些
5、模型进行 分析，得到相应的结果，最后建立基于指数 Ornstein-Uhlenbeck 过程的带有红利 支付的不确定执行价格的期权模型，并分别计算出在欧式期权和美式期权的情况 下期权不同的定价。可以看出鞅理论内容在金融领域期权定价方面具有很强的实 用价值，随着鞅理论的不断完善给金融领域的相关衍生品定价提供了理论基础。 关键字：鞅理论；期权定价；指数 Ornstein-Uhlenbeck 过程 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 II Abstract Martingale theory is one of the most important branches of probability the
6、ory, and it is also the basis of probability theory and random process. It has a lot of practical significance, for example, in the process of making pricing decisions or controlling models. We can simplify some of the complicate problems just by constructing the framework of martingale theory. That
7、s the reason why martingale theory is widely used. In the meantime, martingale theory also has connections with statistical analysis, harmonic analysis, geometry of Banach space and random analysis, and has get various of achievements. This paper has two parts. The first part is a sketch of martinga
8、le theory which is divided into two parts of classical martingale theory and modern martingale theory. The content of classical martingale theory includes the definitions and properties of the parametric martingale of discrete time and the parametric martingale of continuous time, sets of inequaliti
9、es, convergence theorem, stopping theorem and so on. The content of modern martingale theory includes the decomposition of the martingale, integrable quadric variation martingale, square integrable martingale, partial martingale, half martingale, theory of limits of martingale and stochastic integra
10、l problem under the viewpoint of martingale theory. The method of martingale is form from the combination of martingale theory and stochastic integral knowledge which has valuable significance in the financial field. The primary coverage of the second part is the application of martingale theory. In
11、 this part, we have draw single session model, multi-session model and classical Black Scholes option pricing model into the theory. The paper has analyzed these models through the knowledge of martingale theory and get corresponding results. From then, we create the option model with change exercis
12、e price on the basis of the exponential Ornstein-Uhlenbeck process with underlying stock paying dividends and calculate different prices under European style option and American style option. It is said that the content of martingale theory has strong practical values in the aspect of option valuati
13、on in the financial field. The martingale theory provides fundamental basis for pricing interrelated spin-offs in the financial field with its continuous improvements. Keywords: Martingale theory, Option pricing, Exponential Ornstein-Uhlenback process 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 III 目 录 摘 要 . I ABSTRACT II 第 1
14、章 绪 论 5 1.1 选题的背景及研究的目的和意义 5 1.2 相关领域的研究现状及发展前景 . 6 1.3 本文研究的主要内容 . 8 第 2 章 鞅的经典理论 9 2.1 引言 . 9 2.2 离散时间参数鞅的经典理论 . 9 2.2.1 离散时间参数鞅的定义域基本性质 9 2.2.2 离散时间参数鞅的收敛定理 12 2.2.3 离散时间参数鞅的一般停时定理 13 2.3 连续时间参数鞅的经典理论 . 15 2.3.1 连续时间参数鞅的定义及其不等式 15 2.3.2 连续时间参数鞅的收敛定理 17 2.3.3 连续时间参数鞅的停时定理 18 2.4 本章小结 . 19 第 3 章 现代
15、鞅论 20 3.1 类D上鞅的 DoobMeyer 分解 . 20 3.2 可积变差鞅和平方可积鞅 . 21 3.3 局部鞅与半鞅 . 22 3.4 鞅的极限理论 . 23 3.5 与鞅论有关随机积分理论 . 25 3.6 本章小结 . 28 第 4 章 鞅理论在某些金融模型中的应用 29 4.1 引言 . 29 4.2 离散鞅论在具体金融模型中的应用 . 29 4.3 连续鞅论在具体金融模型中的应用 . 35 4.4 本章小结 . 43 结 论 44 参考文献 45 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 48 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 IV 致 谢 49 哈尔滨工业大学理学硕
16、士学位论文 5 第 1 章 绪 论 1.1 选题的背景及研究的目的和意义 名词鞅的原意是“公平赌博” ，是 18 世纪法国投注策略的一种形式，是指一 个无偏向的赌博规则。若以 n X 记某人参加赌博活动第n局结束后他拥有的赌博资 金数，如果对任意n满足 11 E nnn XXX ，则表示此人在第n局中赢的期望是 0，因此赌博可以认为是公平的。这一系列的随机变量就称为构成一个鞅1。 鞅这个术语最先是由Ville引入数学领域的，后期由法国概率学家Lvy完善 了鞅的基本概念，美国概率学家 Doob在1953年出版的随机过程书中首次 系统的介绍了他和Lvy有关鞅论的研究成果。自此，鞅理论及其应用引起了学 者们的关注，并得到了快速的发展，这使得鞅理论成为现代概率论中一个重要的 独立分支。从此鞅理论成为现代概率和随机过程等方面的基础，同时在金融领域 定价决策和控制模型等方面也有着重要应用。 早在20世纪30年代，各个国家的数学家就开始重视鞅理论的相关研究， L
