《江苏省南京2019届高三第一学期期中考试数学试卷 含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京2019届高三第一学期期中考试数学试卷 含答案解析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2019 届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、填空题一、填空题 1设集合 A，B1，0，1，2，4，则 AB_ |2 0 () = 3 13已知正数
2、a，b，c 满足，则的最大值为_ 2+ 2( + ) = 0 + 14若存在正数 x，y，使得，其中 e 为自然对数的底数，则实数 的取值范 ( 2)( ) + = 0 围是_ 二、解答题二、解答题 15如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PCD平面 ABCD，M 为 PC 中点求 证： （1）PA平面 MDB； （2）PDBC 2 16已知， (0 2) ( 2) = 1 3 ( + ) = 4 2 6 （1）求的值； 2 （2）求 的值 17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成 Rt FHE，H 是直角项点)来
3、处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点， E，F 分别落在线段 BC，AD 上已知 AB20 米，AD米，记BHE 10 3 （1）试将污水净化管道的长度 L 表示为 的函数，并写出定义域； （2）当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度 L 18在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：与坐标轴分别交于 A1，A2，B1，B2(如图) 2+ 2= 4 （1）点 Q 是圆 O 上除 A1，A2外的任意点(如图 1)，直线 A1Q，A2Q 与直线交于不同的两点 + 3 = 0 M，N，求线段 MN 长的最小值； （2）点 P 是圆 O 上除 A1，A2
4、，B1，B2外的任意点(如图 2)，直线 B2P 交 x 轴于点 F，直线 A1B2交 A2P 于点 E设 A2P 的斜率为 k，EF 的斜率为 m，求证：2mk 为定值 （图 1） （图 2） 19设函数，其中 x0，k 为常数，e 为自然对数的底数 () = 3 3 （1）当 k0 时，求的单调区间； () （2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数 k 的取值范围； () （3）证明：对任意给定的实数 k，存在()，使得在区间(，)上单调递增 00 0 () 0 + 20若数列同时满足：对于任意的正整数 n，恒成立；若对于给定的正整数 k， + 1 对于任意的正整数 n(nk)
5、恒成立，则称数列是“R(k)数列” + + = 2 （1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由； =2 1，为奇数 2，为偶数 （2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数 p(p1)，使得，成等差数列， 3 33 13 + 13 + 3 证明：是等差数列 21二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2) （1）求矩阵 M 的逆矩阵； M 1 （2）设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：，求 l 的方程 2 = 4 22在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为 d，求 d 的最大值 = 3( +3) = 2 23如图，已知三棱锥 OAB
6、C 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OBOC2，E 是 OC 的 中点 （1）求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值； （2）求二面角 ABEC 的余弦值 24已知， () = (1 +) （1）若，求中含 x2项的系数； () = 4() + 25() + 36() () （2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于 1 的数组成的数列，试用数学 () 归纳法证明： (12+ 1) (1 + 1)(1 + 2)(1 + ) 1 2019 届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 11，2 【解析】 【分析】 先
7、化简集合 A，然后求交集即可. 【详解】 集合 A，又 B1，0，1，2，4 |2 0 + ( 2 ， ) = cos( + )=1 sin2( + )=1 ( 4 2 6 )2 4 + 2 6 由得： = + cos = cos( + )= cos( + )cos + sin( + ) sin = = ( 4 + 2 6 )( 1 3) +( 2 2 3)( 4 2 6 ) 2 2 . (0 ， ) = 4 17（1），； （2）或时，L 取得最大值为米. = 10 + + 1 6, 3. = 6 = 3 20( 3 + 1) 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形求得得 EH、FH、EF
8、的解析式，再由 L=EH+FH+EF 得到污水净化管道的长度 L 的函 数解析式，并注明 的范围 （2）设 sin+cos=t，根据函数 L= 在，上是单调减函数，可求得 L 的最大值 20 1 3 + 1 2 2 所以当时，即 或 时，L 取得最大值为米 = 3 + 1 2 = 6 = 3 20( 3 + 1) 【详解】 由题意可得，由于 ， (1) = 10 = 10 = 10 = 10 10 3 = 10 10 3 所以， 3 3 3 6, 3 ， = 10 + 10 + 10 6, 3. 即， = 10 + + 1 6, 3. 设，则，由于， (2) + = = 2 1 2 6, 3
9、+ = =2( + 4) 3 + 1 2 , 2. 由于在上是单调减函数， = 20 1 3 + 1 2 , 2 当时，即或时，L 取得最大值为米 = 3 + 1 2 = 6 = 3 20( 3 + 1) 18（1）2；（2）证明见解析。 【解析】 【分析】 （1）设 A2Q 的斜率为 k，求出直线 A1Q 和 A2Q 的方程，得出 M，N 的坐标，从而得出 MN 关于 k 的表 达式，进而得出 MN 的最小值； （2）求出直线方程，得出 E、F 的坐标，进而得出 m 与 k 的关系，从而得出结论 【详解】 (1)由题设可以得到直线的斜率存在设方程为, 2 = ( 2)( 0) 直线的方程为,
10、 1 = 1 ( + 2) 由,解得;由,解得 = ( 2) + 3 = 0 = 2 3 = 3 = 1 ( + 2) + 3 = 0 = 3 2 = 3 5 所以,直线与直线的交点 2 + 3 = 0 (2 3 , 3) 直线与直线的交点,所以. 1 + 3 = 0(3 2, 3) =|3 + 3 4| 当时, ,等号成立的条件是 0 =|3 + 3 4| 6 4 = 2 = 1 当时, ,等号成立的条件是. 0 0 所以，当时，；当时， 3() 00 0() （2,3）上单调递增.又， (2)= 2 4 (3)= 3 9 0 2 4 0() 3 () (3)(3)= 3 27 0) (3)
11、3 当时，. 3 ()= ( 3)( 2) 4 ( 3)(3)3 2) 4 = ( 3)(3) ) 2 设为 3 和中较大的数，则当时， 0 (3) 0 () 0 6 所以对任意给定的实数 ，存在，式得在区间上单调递增. 0(0 0) () (0, + ) 20（1）是（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据 定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列通项，根据等 差数列证结论 试题解析：（1）当 为奇数时，所以. + 1 = 2( + 1) (2 1) = 3 0 + 1 . 2+ + 2= 2( 2) 1 + 2( + 2) 1 = 2(2 1) = 2 当 为偶数时，所以. + 1 = (2 + 1) 2 = 1 0 + 1 . 2+ + 2= 2( 2) + 2( + 2) = 4 = 2 所以，数列是“数列”. (2) （2）由题意可得：， 3+ + 3= 2 则数列，是等差数列，设其公差为， 147 1 数列，是等差数列，设其公差为，
