河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题含答案解析

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1、1 河南省十所名校河南省十所名校 20192019 届高三尖子生第二次联合考试届高三尖子生第二次联合考试 数学（理科）数学（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中. .只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 A,B，即可求出，再利用交集概念即可求解. 【详解】由题可得：， 所以，所以 故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合的交、补集运算，属于基础题。

2、 2.已知复数 满足，则（ ） A. B. 1C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 令，整理即可得到方程组，解出方程组，问题得解. 【详解】令， 则可化为：，整理得： 所以，解得：， 所以 故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的模知识，考查计算能力，属于基础题。 2 3.已知 x，y 满足约束条件 ，则 zx2+y2的最小值为（ ） A. 5B. 4C. 2D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将转化成，只需求的最小值即可，又表示点到原点的距离，只需 求原点到可行域的点的距离的最小值即可解决问题。 【详解】作出不等式组表示的区域，如下图： 其中， 可转化成，要求 的最小值，

3、只需求的最小值即可，又表示点到 原点的距离， 由图可得：原点到可行域的点的距离的最小值就是原点到直线的距离， 又原点到直线的距离为， 所以，. 故选：C 【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及计算能力，属于基础题。 4.已知为等差数列的前 项和，若，则数列的公差（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 3 【分析】 设等差数列的首项为，公差为 ，由及列方程组即可求解。 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，由及得： ，解得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。 5.在长为 2 的木棍上随机选择

4、一点切断为两根，它们能够与另一根长为 1 的木棍组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设切断以后两根的长分别为 ，由三角形知识两边之差的绝对值小于第三边列不等式可求得， 问题得解。 【详解】设切断以后两根的长分别为 ， 由三角形知识两边之差的绝对值小于第三边列不等式可得：， 解得： 所以它们能够与另一根长为 1 的木棍组成三角形的概率为. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形中的结论及几何概型概率计算，属于基础题 6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A. 4B. C. D. 【答案】D 4 【解析】 【分析】 还原三视图为一个正方体中的

5、一个四棱锥，依据题中数据即可得解。 【详解】如下图，该几何体是边长为 2 的正方体中的一个四棱锥 所以， 故选：D 【点睛】本题主要考查了三视图还原知识及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。 7.执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出 k 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 按流程图逐一执行即可得解。 【详解】读流程图可得： 5 不成立 不成立 成立 输出 故选：D. 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题。 8.记为数列的前 项和，已知和（ 为常数）均为等比数列，则 的值可能为（ ） A. B.

6、 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对的公比 是否为 1 分类，可排除，再利用也是等比数列列方程即可得到，分别令 ，可得只有时才存在 满足方程，问题得解。 【详解】当时，令（其中 为非零常数） ， 整理得：，要使得它对任意的恒成立， 则：，解得：，这与为等比数列矛盾. 所以， 令（其中 为非零常数） ，则，整理得： ，要使得它对任意的恒成立， 6 则，整理得：， 令，则，解得：，这与为等比数列矛盾. 令，则，整理得：，此方程无解。 令，则，整理得：，记， ，所以在上必有一零点。即 至少有一个实根. 令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比

7、数列的定义及求和公式，考查分类思想及转化能力，还考查了计算能力及方程 思想，属于中档题。 9.5 位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（ ） A. 40B. 36C. 32D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出甲与乙必须相邻的情况种数，再计算出甲站在两端且与乙相邻的种数，问题得解。 【详解】由题可得：甲与乙必须相邻的情况种数为：种， 甲分别站在两端且与乙相邻的种数为：种， 所以甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是种。 故选：B 【点睛】本题主要考查了捆绑法排列计算及含特殊要求的排列计算，考查分类思想及转化思想，属于基础题。 10.设双曲线

8、：的右焦点为 ， 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点 ， 使得四边形为矩形，则其离心率为（ ） A. B. 2C. D. 【答案】A 【解析】 7 【分析】 求出过原点且与渐近线垂直的直线的方程为，再求出过点 F 且与渐近线平行的直线 方程，联立方程组求出点 的坐标为：，将它代入双曲线方程整理即 可得解。 【详解】依据题意作出如下图像，其中四边形为矩形， 双曲线的渐近线方程为：， 所以直线的方程为，直线的方程为：， 联立直线与直线的方程可得：，解得：， 所以点 的坐标为：，又点 在双曲线上， 所以，整理得：，所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及方程思想，考查计算能

9、力及转化能力，属于中档题。 11.在正方体中，点 ， ， 分别在棱，上，且， （其中） ，若平面与线段的交点为 ，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为 方向，以方向为 方向，以方向为 方向，设 正方体的边长为 1，分别求出点的坐标及向量的坐标，利用向量加法表示出 ，列出对应的方程组，解方程组即可得到，问题得解。 【详解】如图，以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为 方向，以方向为 方向，以方 向为 方向，设正方体的边长为 1， 则, , 因为点 在平面内，可设（其中为常数） ， 又与共线，可设，由图

10、可得： , 即：， 整理得：， 由（1） （3）可得：，即： 由（2） （3）可得：，即：， 联立（4） （5）解得：，代入（2）可得： ，整理得：， 所以. 所以. 故选：D. 9 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查转化能力及计算能力，还考查了空间思维能 力，考查了平面向量基本定理知识，属于难题。 12.已知函数，方程对于任意都有 9 个不等实根，则实数 的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，求出的三个根，并可判断函数是一个奇函数，讨论的单调性，利用 要有 3 个不同的根列不等式即可得到 的范围，利用 的范围即可排除 A.B.

11、C，问题得解。 【详解】因为方程对于任意都有 9 个不等实根， 不妨令，则方程有 9 个不等实根， 令，解得：，. 所以，都要有 3 个不同的根 由可得：， 所以函数为奇函数，又， 由有 3 个不等实根，可得不是单调函数，即： 令，解得：， 作出的关系如下表： 作出的简图如下： 10 要使得有 3 个根，至少要满足， 即：，解得：. 即：，排除 A,B,C. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了方程的解的个数解决方法，考查了利用导数判断函数的单调性及奇函数特点，还考 查了转化思想及计算能力，属于难题。 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题。每小题小题。每小题 5 5 分，共分，共

12、2020 分分. . 13.已知且,则_。 【答案】1 【解析】 【分析】 整理得： 由此得到，问题得解。 【详解】因为， 所以，整理得： ，又， 所以，所以， 所以 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考查了三角恒等式，属 于基础题。 14.动点 在函数的图象上，以点 为圆心作圆与 轴相切，则该圆过定点_ 【答案】 【解析】 11 【分析】 整理可得：，此函数图像是由函数右平移 1 个单位而得，再利用抛 物线的定义即可求解. 【详解】由可得：， 此函数图像是由函数右平移 1 个单位而得， 函数的图像是开口向右的抛物线且在 轴的上半部， 其焦点为，准线方程

13、为：， 所以函数的图像也是开口向右的抛物线且在 轴的上半部， 其焦点为，准线方程为：（ 轴） 由抛物线定义可得：等于点 P 到 轴的距离， 所以以点 为圆心且与 轴相切的圆过定点. 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移规律及抛物线的简单性质，还考查了抛物线的定义，属于基础题。 15.已知点 ， ， 均位于同一单位圆 上，且，若，则的取值范围为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由整理可得：，即：，以圆心为原点，以 BC 所在直线为 轴建立平面直角 坐标系，设，由整理得：，所以点 P 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上运动，由 等价转化成，利用整理即可求解。 【详解】由可得：, 所以，所以，即线

14、段 BC 为单位圆的直径. 以圆心为原点，以 BC 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图： 12 则， 设，则 由可得：，所以点 P 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上运动， 因为， 所以 , 又， 所以，即：. 【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及计 算能力，考查了向量模的运算，属于难题。 16.若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数” ，下列函数中是“旋转对 称函数”的有_.（填写所有正确结论的序号） ；. 【答案】 【解析】 【分析】 对于，求出的反函数为，即可判断原函数是“旋转对称函数” ，对于，验证 得：，即

15、可判断原函数是“旋转对称函数” ，对于 ，可分析出当时，时，由函数特征即可判断不是“旋转对称函数”. 13 【详解】对于中，的反函数为：，所以函数关于直线 对称，故是“旋转对称函数”. 对于，所以函数是偶函数，它关 于 轴对称，故是“旋转对称函数”. 对于，当时，则函数的图像只可能关于直线 对称，又，当时，这与函数的图像关于直线 对称矛盾，故不是“旋转对称函数”. 【点睛】本题主要考查了反函数的求解及互为反函数的图像关系，考查了偶函数的图像特征，还考查了分析 函数图像特征的能力以及极限思维，考查分析能力及新概念知识，属于难题。 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说

16、明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222，2323 题为选考题题为选考题. .考生根据要求作答考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.在中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知的面积. （）求 ； （）作角 的平分线交边于点 ，记和的面积分别为，求的取值范围. 【答案】 （）；（）. 【解析】 【分析】 （）由结合整理可得，问题得解. （）整理可得：，结合正弦定理得：，问题得解. 【详解】解：（） . 因此，又，所以. （）， 由正弦定理，知. 14 因为， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式及正、余弦定理，考查方程思想及转化思想，考查计算能力，属于 基础题。 18.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角