天津市七校2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷 含答案解析

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1、1 天津市七校天津市七校 2019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 数学（理科）数学（理科） 一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求解集合 A，然后根据补集的运算求解，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意或，所以， 所以，故选 B. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其

2、中解答总正确求解集合 A，准 确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2.设，直线 ：，直线 ：，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案. 【详解】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行， 当时，若，则满足， 由得，解得或， 当时，成立， 2 当时，成立，即两直线是重合的（舍去） ，故 所以是的充要条件，故选 C. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两

3、直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平 行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ） A. -5 B. 1 C. 2 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数， 即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由目标函数，可得， 由图象可知，当直线过点时，直线在 y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值 为，故选 B. 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答

4、中正 确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求” ，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题 4.执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ） 3 A. 7 B. 14 C. 30 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序运行的过程，分 析循环中各变量的变化情况，即可求解. 【详解】由题意，模拟程序的运行，可得， 不满足条件，执行循环体，满足条件能被 整除，； 不满足条件，执行循环体，满足条件能被 整除，； 不满足条件，执行循环体，满足条件能被 整除，

5、； 不满足条件，执行循环体，满足条件能被 整除，； 此时，满足，推出循环，输出 S 的值为 30，故选 C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确 定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特 点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和 解答问题的能力，属于基础题. 5.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 现判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合

6、单调性 4 进行判定，即可得到答案. 【详解】函数是奇函数，当时，为增函数， 又由， 则，所以，故选 D. 【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单调性，合理 得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.己知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 2，将的图象向右平移 个单位 长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 2，求得，所以，将函数的图象向右平 移 个单位长度，得到函数，利用三角函数的性质，

7、即可求解. 【详解】函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 2， 所以函数的最小正周期为 4，则，解得，所以， 将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数， 令，解得， 当时，函数的单调单调递增区间为，故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三 角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于 点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 设切点为

8、 N，连接 ON，作作，垂足为 A，由，得到， 在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲 线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为 N，连接 ON，作作，垂足为 A， 由，且为的中位线，可得， 即有， 在直角三角形中，可得，即有， 由双曲线的定义可得，可得， 所以，所以，故选 A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心 率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围) 8.定义域为 的函数满足，当时，.

9、若时， 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】 6 根据函数的性质和函数的解析式，求得， 则若时，恒成立转化为且，即可求解. 【详解】当时， 则， 当时，则， 则当时， 当时， 当时， 当时， 所以时， 所以， “若时，恒成立”等价于， 解得，故选 C. 【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数 的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了 转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本

10、大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9.已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案. 【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为 . 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法 则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 7 10.若二项式的展开式中的常数项为 ，则_. 【答案】124 【解析】 【分析】 根据题意，利用二项式求得 的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解. 【详解】由题意，二项展开式的通

11、项为， 由，得，所以， 则. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项， 求得 的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11.已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体的表面积为求的的值，则正方体的体积，即可求 解. 【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体的棱长为， 其表面积，得， 所以正方体的体积是. 【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表 面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考

12、查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题. 12.已知抛物线 的参数方程为（为参数，） ，其焦点为 ，顶点为 ，准线为，过点 斜率为 8 的直线与抛物线 交于点 （ 在 轴的上方） ，过 作于点 ，若的面积为，则 _. 【答案】 【解析】 【分析】 把抛物线 C 的参数方程化为普通方程，写出过交点 F 的斜率为的直线方程，与抛物线方程联立，求出点 A 的坐标，写出点 B 的坐标，利用的面积列出方程，即可求出 P 的值. 【详解】抛物线 C 的参数方程为（为参数，） ， 消去参数，化为，其焦点坐标为，准线方程为， 过焦点 F 且斜率为的直线方程为， 由，整理得， 解得或（不合题意，舍去）

13、 ， 所以当时，所以点，所以， 所以的面积为， 解得. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了三角 形的面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，求解交点的坐标，再利用三角形的面 积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13.设，若，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 9 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为满足， 所以，且， 则， 当且仅当且，即时取得最小值. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条 件，合

14、理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14.在梯形中， ， 分别为线段和上的动点，且 ，则的最大值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得的解析式，进而求得实数的取值范围，在利用函数 的单调性，求得最值，即可得到答案. 【详解】由题意，梯形中， 因为， 则 ， 因为，解得， 设 ，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值 . 10 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同 时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得的解析式是解 答的关键，着

15、重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） 15.在中，内角所对的边分别为.，. （）求边的值； （）求的值. 【答案】 （） （） 【解析】 【分析】 （）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得 的值，再根据余弦定理可 解得的值； （）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得的值，进而根据 两角和的余弦函数公式，即可求解. 【详解】 （）由，得， 因为，由，得， ， 由余弦定理，得， 解得或（舍） （）由得 ， 【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、

16、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中 合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题. 11 16.某高中志愿者部有男志愿者 6 人，女志愿者 4 人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随 机抽取 4 人负责舞台服务工作，另外 6 人负责会场服务工作. （）设为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者 ” ，求事件发生的概 率. （）设 表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量 的分布列与数学期望. 【答案】 （）（）详见解析 【解析】 【分析】 （）由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解的值； （）由题意得出随机变量 的取自，计算对应的概