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1、专题03 函数性质灵活应用一陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。（3）单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义
2、域范围内讨论。等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。2.定义域限制陷阱3.特殊的函数值问题4.利用性质解决抽象函数问题5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用6.函数性质与导数综合7.数形结合求参数8.恒成立求参数9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）10. 分段函数的连接点（等价转化）11.主变元问题（迷惑性）二陷阱例题分析及训练（一）函数图象问题例1函数f(x)lnxx2的图像大致是()A B C D【答案】B【点评】由解析式确定函数
3、图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复练习1【湖南省长沙市一中2019届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0a12)，不考虑树的粗细.先用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位： ）的图象大致是( )A B C D【答案】C【解析】设长为，则长为 ，又因为要将点围在矩形内
4、，则矩形的面积为，当时，当且仅当时， ，当时，分段画出函数图形可得其形状与C接近，故选C.点评：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论判断函数的图象即可.练习2若函数的图像如图所示，则实数的值可能为（ ）A B C D【答案】B点评：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧
5、妙而获解。2 特殊函数值（概念类）例2【衡水2019模拟试题】已知函数是定义在上的奇函数，且是偶函数，若，则的值为A B C D【答案】D【解析】函数是定义在内的奇函数，是偶函数，且的周期为 故选练习1已知函数是单调函数，且对恒成立，则（ ）A0 B6 C12 D18【答案】D【解析】：函数是单调函数，且对恒成立，存在唯一的常数，使得，即，则，即，得，解得，则，故选D3.定义域陷阱例3【福建2019模拟】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】令，且，当时，由在上单调递增，根据对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性可得，解得，当时，由在上
6、单调递减，可得，解得，综上可得，故选B. 考点：1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性；2、不等式的解法.【方法】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性、不等式的解法，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.练习1.【河南省名校联盟2019届高三年级11月调研】已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（，0上单调递减，则不等式f
7、（x）f（2x1）的解集为A（，）（1，） B（，1）（，）C（，1） D（1，）【答案】A【分析】函数图像关于轴对称，故函数在上递增，由此得到，两边平方后可解得这个不等式.【解析】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增，故 ，故选A.【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.4.利用性质解决抽象函数问题例4【2019山东模拟】给出下列说法：集合与集合是相等集合；若函数的定义域为，则函数的定义域为；函数的单调减区间是；不存在实数，使为奇函数；若，且，则.其中正确说法的序号是（ ）A B C D【答案】D【解析】中A集合与B集合都表示所有奇数组成的集合
8、，是相等集合.中若函数定义域为由得即函数的定义域为，故错误.函数的单调减区间是故错误.函数的定义域为R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数m,函数不会是奇函数，故错误.若则所以，故正确.选D.练习1已知定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）最小值为2，最大值为3【解析】（1）利用赋值法进行求 的值； （2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2
9、=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0（2）证明：（2）设x1，x2（0，+），且x1x2，则1，f（）0，f（x1）f（x2）=f（x2）f（x2）=f（x2）+f（）f（x2）=f（）0， 即f（x1）f（x2），f（x）在（0，+）上的是增函数（3）f（x）在（0，+）上的是增函数若，则f（）+f（）=f（）=2，即f（5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为2，最大值为3 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决
10、抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键练习2已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：，考查下列结论：；为奇函数；数列为等差数列；数列为等比数列。以上命题正确的是 【答案】【解析】因为对定义域内任意，满足，令，得，故错误；令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数故正确；若 ，则为常数，故数列 为等差数列，故正确；，当时，则，则，若，则为常数，则数列为等比数列，故正确，故答案为：【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内
11、容的难点之一尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如，它的原型就是；可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用例5. 已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的定义域为的奇函数，即，把x换成x-2，可得：，又，故函数周期为T=4，又，当时， ，【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；（2）若，则函数周期为（3）若，则函数的周期为；（4）若，则函数的周期为.练习1. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的
12、图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示：当时， ， ，；当时， ， ，故当时，其解集为，是偶函数， 是奇函数，是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是，故选C.练习2. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A练习3.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，则的值为_. 【答案】3【解析】由，得，所以是周期为4的周期函数.又是定义在上的偶函数，所以.所以.6.函数性质与导数综合例6【2018雅安模拟】已知函数，实数，满足，若，使得成立，则的最大值为
13、（ ）A4 B C. D【答案】A【解析】，则当时，；当时，.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.考点：函数的图象和性质.【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.练习1若三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：因为三次函数在上是减函数，所以有，得故选A.考点：利用导数研究函数的单调性.练习2已知函数，若对任意的，且时，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得 在 上单调递增;当 时, 在 上单调递增,所以由;当 时, ,由,因此的单调增区间为,所以由;综上实数的取值范围为 ,选B.练习3设函数为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时， ，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则，故函数是区间上的单调递减函数，又；
