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1、1 专题专题 05 幂指对函数性质活用幂指对函数性质活用 一命题陷阱及易错点分析一命题陷阱及易错点分析 指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关 概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、 隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中： 1.概念类陷阱概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对 底数的限制及对数对真数的限制； （1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用. （2）指数函数底数讨论. 当时函数是减函数，当时函数是增函数. x ya01a
2、1a （3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数. （4）对数的底数和真数,它们都必须大于 0，底数还要不等于 1. 2.隐含条件陷阱隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着.0 x a 3. 迷惑性陷阱迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题. 4.分类讨论陷阱分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏. 5. 等价转化陷阱，等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题. 6.定义域为定义域为 R 与值域为与值域为 R 及特定定义域陷阱及特定定义域陷阱 7.幂指对函数中的倒
3、序求和幂指对函数中的倒序求和 二二 【学习目标学习目标】 1理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算 2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用 3掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质 4了解指数函数了解指数函数 yax与对数函数与对数函数 ylogax 互为反函数互为反函数(a0 且且 a1)的关系的关系 三三 【知识要点知识要点】 1对数的定义对数的定义 如果如果 axN(a0 且且 a1)，那么
4、数，那么数 x 叫做以叫做以 a 为底为底 N 的对数，记作的对数，记作_，其中，其中 a 叫叫 做对数的底数，做对数的底数，N 叫做真数叫做真数 2几种常见的对数几种常见的对数 对数形式对数形式特特 点点记法记法 一般对数一般对数底数为底数为 a(a0 且且 a1)logaN 2 常用对数常用对数底数为底数为 10lg N 自然对数自然对数底数为底数为 eln N 3.对数的性质对数的性质(a0，且，且 a1，N0) _； logaaN_； 换底公式：换底公式：_；logab，推广，推广 logablogbclogcdlogad. 1 logba 4对数的运算法则对数的运算法则 如果如果 a
5、0 且且 a1，M0，N0，那么，那么 loga(MN)_； loga_； M N logaMn_； logamMn_学学+_科网科网 5对数函数的概念、图象和性质对数函数的概念、图象和性质 定义定义形如形如 ylogax(a0，且，且 a1)的函数叫对数函数的函数叫对数函数 图象图象 (1)定义域：定义域：_ (2)值域：值域：_ (3)过点过点_，即，即 x1 时，时，y0 (4)在在(0，)上是上是_在在(0，)上是上是_ 性质性质 (5)x1 时，时，_ 01 时，时，_ 0a10，m=ab1aa1n=ba1，则 mn， 本题选择 C 选项. 2.幂指对函数的性质幂指对函数的性质 例例
6、 2【江苏扬州江苏扬州 2019 模拟模拟】已知已知是是上的减函数，那么上的减函数，那么 的取值范围是的取值范围是 （ ） A B C D 【答案答案】C 5 【分析】由在 上递减， 在上递减，结合即可得 结果. 【点评】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点， 也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数 的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 练习练习 1.函数函数的单调递增区间为（的单调递增区间为（ ） A （，2） B （2，+） C （，4
7、） D （4，+） 【答案答案】D 【解析解析】先求得函数的定义域，函数是复合函数，外函数是增函数，再找出内函数在定义域内的增区间 即可。 【详解】由函数，可得 x24x0，求得 x0 或 x4，故函数的定义域为x|x0 或 x4 ， 令 tx24x，则 因为 是定义域内的增函数， 只需找出函数 tx24x 在定义域内的增区间 利用二次函数的性质可得 tx24x 在定义域内的增区间为（4，+） ， 故选：D 【点睛】研究函数的单调性，首先要考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。 对于复合函数的单调性，要综合考虑内外函数的单调性，利用“同增异减”的方法。 练习练习 2.函数
8、函数 y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是的递增区间是 （ ） A(- ，-2) B(5，+ ) C(- ， ) D( ，+ ) 6 【答案答案】A 【解析解析】由得或. 当时，单调递减， 而,由复合函数单调性可知，在上是单调递增的， 故选 A. 点睛：复合函数单调性的判断：. 当内层函数单调递增，外层函数单调增，则单调递增； 当内层函数单调递减，外层函数单调减，则单调递增； 内层函数单调递减，外层函数单调增，则单调递减； 内层函数单调递增，外层函数单调减，则单调递减. 将上述判断方法简称为“同增异减”. 3.幂指对函数的定义问题幂指对函数的定义问题 例例 3 【2019 四川
9、遂宁模拟四川遂宁模拟】函数函数 f(x)(a23a3)ax是指数函数，则有（是指数函数，则有（ ） Aa1 或或 a2 Ba1 Ca2 Da0 且且 a1 【答案答案】C 【分析】根据指数函数的定义得到 a23a3=1， a0 且,解出方程即可. 【解析解析】函数 f(x)(a23a3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到 a23a3=1，且 a0,解得 a=1 或 2， 因为指数函数的底数不能为 1，故结果为 2. 故答案为：C. 不等式 对任意恒成立， 令， 则对恒成立， 在时，递减，所以， 【点睛】函数恒成立求参数取值范围是常考题型，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求
10、7 函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式， 即求 ，求参数取值. 练习练习 2已知函数已知函数 (其中其中 a0 且且 a1) （1）求函数）求函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；的奇偶性，并说明理由； （2）若）若，当，当 x 时，不等式时，不等式恒成立，求实数恒成立，求实数 m 的范围的范围 【答案答案】 （1）奇函数（2） 【解析解析】 （1）由于函数 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（x）=f（x） ，可得函数 f（x）是奇函数； （2）设,不等式恒成立即 【详解】 （1）由条件知0，解得1x1，函数的定义域为(1,1)； 可知函数的定义域关于原
11、点对称 f(x)loga-logaf(x)， 因此是奇函数 （2）任取 x1，x2（1，1） ，且 x1x2 ， 因为 又1x1x21，所以， 因此有 又，所以， 即 f（x1）f（x2） 所以当时，f（x）在（1，1）上是减函数 设, 可知是减函数，则， 8 解得：。 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题 练习练习 3是否存在实数是否存在实数a，使得函数，使得函数在区间在区间1,1上的最大值为上的最大值为 14？若？若 存在，求出存在，求出a的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由. 【答案答案】 1 3 3 a 或. 【解析解析】令tax，分
12、为1a和10 a两种情形，由x的范围得到新的变量t的范围，故转化为二次函数 在给定区间内求最值. 试题解析：令tax，则，开口向上，对称轴为1t， 当1a时， a a t, 1 ，故函数在 a a , 1 上单调递增，故， 解得3a或5a（舍去） 当10 a时， a at 1 ，故函数在 a a 1 ，上单调递增，故， 解得 3 1 a或 5 1 a（舍去） 综上所述：a的值为 1 3 3 a 或. 考点：二次函数的性质. 【方法点睛】本题主要考查了换元法以及二次函数在给定区间内的最值问题，注重对基础的考查，难度一般； 换元法的作用是利用整体代换，常设tax，转化为一元二次方程、二次函数等问题
13、，要注意换元后t的取 值范围；二次函数在给定区间内求最值主要是根据所给区间与二次函数对称轴的关系，判断函数在该区间上 的单调性，得其最值. 8.创新题型创新题型 例例 8.若定义运算若定义运算，则函数，则函数的值域是（的值域是（ ） A0 1， B0 ， C1 ， DR 【答案】B 9 考点：函数的值域的求解 【方法点晴】本题主要考查了函数的值域的计算问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，对数不等 式的求解，对数函数的值域，以及对数函数的单调性的判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的 能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的新定义，得到新函数的解析式是解答的关键，
14、试题有一定难度，属于中档试题 练习练习 1若点若点,A B分别是函数分别是函数 yf x与与 yg x的图象上的点，且线段的图象上的点，且线段AB的中点恰好为原点的中点恰好为原点0,0O， 则称则称,A B为两函数的一对为两函数的一对“孪生点孪生点”.若若，则这两函数的，则这两函数的“孪生点孪生点”共有（共有（ ） A1 对对 B2 对对 C3 对对 D4 对对 【答案答案】B 【解析解析】 由题意， yf x与 yg x “孪生点”的对数就是 yf x与（与 yg x关于原点对 称）的交点个数，由 2xg x ，得，画出 1 2 x y 与lgyx的图象，如图， 由图知，两图象有2个交点，与 2xg x 这两函数的“孪生点”共有2对，故选 B. 【方法点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象、函数图象的对称变换，新定义问题及数形结合思想，属 于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或
