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1、专题专题 11 三角函数的图像与性质中的易错点三角函数的图像与性质中的易错点 一学习目标 1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性 2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期 3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题 二方法总结 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看 f(x)与 f(x)的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x，偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式. 2.三角函数的单调性 (1
2、)函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把 x 看作一个整体，比如：由 2k x2k (kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间. 2 2 若函数 yAsin(x)中 A0，0，可用诱导公式将函数变为 yAsin(x)，则 yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数 yAcos(x)，yAtan(x)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正 负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型： (1)
3、yAsin(x)B 或 yAtan(x)B， (2)yA(sin xa)2B， (3)ya(sin xcos x)bsin xcos x(其中 A，B，a，bR，A0，a0). 三函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性 （七）三角函数的对称性 （八）三角函数的最值 （九）三角函数与数列的综 合 （十）三角函数的周期性 四典例分析 （一）三角函数图象平移 例 1为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ） A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度 C向左平行
4、移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度 【答案】B 【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到. 【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名， 在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩. 练习 1为了得到的图像，只需把函数的图像（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】 因为，要得到函数，只需将 的图象向右平移 个单位长度即可故选 D
5、. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换 问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数. （二）三角函数的零点 例 2函数的零点个数为 A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为 0，转化为两个函数的图象交点个数 问题. 【详解】由已知 ， 令，即， 在同一坐标系中画出函数和的图象， 如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为 2 个，故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化 为两个函数的图象的交点问题，
6、在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想 和数形结合思想的应用. 练习 1设函数为定义域为 的奇函数，且，当时，则函数 在区间上的所有零点的和为 A10 B8 C16 D20 【答案】B 【解析】根据函数是定义在 R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数 图像关于直线对称，故而得出函数是以 4 为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。 【详解】因为函数为定义域为 的奇函数， 所以， 又因为， 所以，可得， 即函数是周期为 4 的周期函数，且 图像关于直线对称。 故在区间上的零点，即方程的根， 分别画出与的函数图像， 因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的
7、零点关于直线对称， 由图像可知交点个数为 8 个，分别设交点的横坐标从左至右依次为， 则， 所以所有零点和为 8,故选 B。 练习 2设，则函数 A有极值 B有零点 C是奇函数 D是增函数 【答案】D f（x）无极值和无零点，且不为奇函数. 故答案为：D 练习 3已知，若函数在上有两个不同零点，则 _ 【答案】 【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而 得到结果. 【详解】 已知=，令， 函数在上有两个不同零点, 即函数和 y=m 两个图像有两个不同的交点， 做出函数 y=sint，和 y=m 的图像, 通过观察得到 进而得到= 故答案为：
8、. 【点睛】本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系 式的运用，属于中档题对于函数的零点问题通常转化为两个函数图像的交点问题或者方程的解的问题. （三）函数的单调性 例 3若函数 y=f（x）对任意 x（- ， ）满足 f（x）cosx-f（x）sinx0，则下列不等式成立的是（ ） Af（- ）f（- ） Cf（- ）f（- ） Df（- ） 0，排除选项 A.故选 D. 练习 1函数的图像大致是（ ） A B C D 【答案】A 点睛：识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析
9、解 决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题 练习 2函数在, 2 2 上的图像大致为（ ） 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数 f x的定义域为, 2 2 ，关于原点对称，且 ，所以函数 f x的图像关于原点对称，排除 A、B 选项，在 同一直角坐 标系中，作出函数2yx， tanyx在, 2 2 的图像，由图可知故在0x 时，靠近y轴的部分满足 2tanxx，比较选项 C、D 可得答案 C 正确. （六）三角函数的奇偶性 例 6已知函数 f(x)sin(2x)在 x时有极大值，且
10、f(x)为奇函数，则 ， 的一组可能值依次为( ) A B C D 【答案】D 【解析】依题意得 22k1，即 2k1，k1Z，A，B 均不正确由 f(x)是奇函数得 f(x)f(x)，即 f(x)f(x)0，函数 f(x)的图象关于点(，0)对称，f() 0，sin(2)0，sin(2)0,2k2，k2Z，结合选项 C，D 取 得 ，k2Z，故选 D. 练习 1设函数的最小正周期为，且 ，则（ ） A f x在0, 2 单调递减 B f x在 3 , 44 单调递减 C f x在0, 2 单调递增 D f x在 3 , 44 单调递增 【答案】A 【解析】试题分析：由 2 T 得2， ，又，
11、则 4 ，即 当0, 2 x 时， 20,x， f x递减，故选 A （七）三角函数的对称性 例 7函数 f(x)2cos(x)(0)对任意 x 都有，则等于( ) A2 或 0 B2 或 2 C0 D2 或 0 【答案】B 【解析】由 ff得 x是函数 f(x)的一条对称轴，所以 f2，故选 B. 练习 1已知函数对任意x都有则 6 f 等于（ ） A2 B0 C2或2 D2 【答案】C 【解析】因为函数对任意x都有 所以 f x关于直线x 6 对称. 则 6 f 为的最大值或最小值，即2 6 f 或2. 故选 C. （八）三角函数的最值 例 8已知函数 f(x)Asin(x)(A， 均为正
12、的常数)的最小正周期为 ，当 2 3 x 时，函数 f(x)取 得最小值，则下列结论正确的是( ) Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2) 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，所以2，又当 2 3 x 时，函数 f x取 得最小值，则 2 3 x 是经过函数 f x最小值的一条对称轴，是经过函数 f x最大值的 一条对称轴，因为，所以 ，且，所以，即 ；故选 A. 点睛：本题考查三角函数的性质；比较三角函数值的大小时，往往将角转化到同一个单调区间上，而本题 中将2, 2,0难以转化到同一个单调区间上，而是利用对称性
13、和开口方向进行比较. 练习 1已知函数在区间 2 , 23 上是增函数，且在区间0,上恰 好取得一次最大值，则的取值范围是（ ） A0,1 B 3 0, 4 C1, D 1 3 , 2 4 【答案】D 【解析】，又函数 f x在区间 2 , 23 上是增函数，且在区间 0,上恰好取得一次最大值， ，解得： 13 24 故选：D 练习 2已知函数，若存在实数 0 x，使得对任意的实数x，都有 0 f x f x恒成立，则的最小值为（ ） A 1 2016 B 1 4032 C 1 2016 D 1 4032 【答案】B 【解析】，所以周期T ，存在实数 0 x，使得对任意的实数x， 都有 0 f
14、 x f x恒成立，则,解得： 1 4032 ，故选 B. （九）三角函数与数列的综合 例 9若，则中值为0的有（ ）个 A200 B201 C402 D403 【答案】C 练习 1函数，若对任意 1 0, 4 x ，存 在 2 0, 4 x ，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A 4 1, 3 B 2 ,1 3 C 2 ,1 3 D 4 1, 3 【答案】D 【解析】当0, 4 x 时,，f(x)1,2， 对于(m0)， 当0, 4 x 时, , 对任意 1 0, 4 x ，存在 2 0, 4 x ,使得成立， 解得实数 m 的取值范围是 4 1, 3 . 故选：D. 点睛：函数中的方程有解问题： （1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与x轴的交点即可；要么将方程整理 成两个函数相等，画两
