物流系统仿真幻灯片第讲概率基础

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1、3.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布,一、随机变量的概念,3.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为： 离散型随机变量取值可以一一列举 连续型随机变量取值不能一一列举,二、随机变量的概率分布,3.2 随机变量及其概率分布,1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机

2、变量的概率密度 3. 分布函数,1. 离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。 概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi0，i=1,2,n； （2）,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X= xi)= pi 分布列： 分布图,2. 连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概率分布只能表示为： 数学函数概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形概率密度曲线和分布函数曲线 概率密度函数f (x)的函数值不是概率。 连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率 由x轴以上、概率密

3、度曲线下方面积来表示,概率密度f (x) 的性质,（1） f (x)0。概率密度是非负函数。 （2）,所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：,3. 分布函数,适用于两类随机变量概率分布的描述 分布函数的定义： F(x)PXx,连续型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数 F(x),分布函数与概率密度,三、随机变量的数字特征,3.2 随机变量及其概率分布,1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量的方差和标准差 3. 两个随机变量的协方差和相关系数,1. 随机变量的数学期望,又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置 离散型随机变量 X的数学期望： 相当

4、于所有可能取值以概率为权数的平均值 连续型随机变量X 的数学期望：,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则 E (k X) k E(X) 对于任意两个随机变量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 E(XY)E(X) E(Y),2. 随机变量的方差,方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(X)或2 公式： 离散型随机变量的方差： 连续型随机变量的方差：,方差和标准差（续）,标准差方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。 方差的主要数学性质： 若k是一常数，则 D(k)

5、0；D(kX)k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y),【例3-10】,试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。 解：, 0.6,3.两个随机变量的协方差和相关系数,协方差的定义,如果X,Y独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 协方差受两个变量本身量纲的影响。,相关系数,相关系数具有如下的性质： 相关系数是一个无量纲的值 0| | 1 当=0，两个变量不相关（不存在线性相关） 当 | |=1，两个变量完全线性相关,四、常见离散型随机变量的概率分布,3.2 随机变量及其概率分布,

6、1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布,1. 二项分布（背景）,（背景）n重贝努里试验： 一次试验只有两种可能结果 用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败” 每次试验中“成功”的概率都是 p n 次试验相互独立。,1. 二项分布,在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X B(n , p) 二项分布的概率函数：,二项分布的数学期望和方差：,n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）,二项分布图形,p0.5时，二项分布是以均值为中心对称 p0.5时，二项分布总是非对称的 p0.5时峰值在中心的右侧 随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布,p=0.

7、3,p=0.5,p=0.7,二项分布图示,【例3-11】,某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。 解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽车中发生损失的汽车数X B(4,0.1)。,利用Excel计算二项分布概率,进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格） 点击表格界面上的 fx 命令 在 “选择类别”中点击“统计”，在“选择函数”中点击“BINOMDIST” 在Number_s后填入

8、试验成功次数 x (本例为2)； 在Trials后填入总试验次数 n (本例为4) ； 在Probability_s后填入成功概率 p (本例为0.1)； 在Cumulative后填入0 (或FALSE)，表示计算成功次数等于指定值的概率,“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”,用EXCEL计算二项分布的概率,2. 泊松分布,X 服从泊松分布，记为XP(）:,E(X)=D(X)= 当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称 当为整数时， 和（-1）是最可能值,泊松分布（应用背景）,通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。 一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数 一定时间段内

9、某电话交换台接到的电话呼叫次数 服从泊松分布的现象的共同特征 在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的； 各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关； 在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计,【例3-12】,设某种报刊的每版上错别字个数服从 =2的泊松分布。随机翻看一版，求： （1）没有错别字的概率； （2）至多有5个错别字的概率。 解：设X每版上错别字个数，则所求概率为：,利用EXCEL计算泊松分布的概率,二项分布的泊松近似,【前提】当n很大而 p又很小时，二项分布可用参数np 的泊松分布近似 【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3个

10、维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ 解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用0.8的泊松分布来近似计算其概率:,3. 超几何分布,N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为XH(n,N,M ),数学期望和方差:,N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N),五、常见的连续型概率分布,1. 均匀分布 X只在一有限区间 a，b 上取值 且概率密度是一个常数 其概率密度为：

11、,X 落在子区间 c，d 内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关,P(cXd),2. 正态分布,XN (、 2 )，其概率密度为：,正态分布的均值和标准差 均值 E(X) = 方差 D(X)= 2,- x ,2. 正态曲线,正态曲线的主要特性 关于x = 对称的钟形曲线 参数决定正态曲线的中心位置 参数 决定正态曲线的陡峭或扁平程度 以X轴为渐近线，即当x 时，f(x) 0,标准正态分布,0、1的正态分布，记为N (0, 1) 其概率密度(x)，分布函数 (x) XN (、 2 ), 则 ： ZN (0，1 ),若 ZN (0，1 )，则有： P（| Z| a）2(a)1 (-a)=1

12、(a),标准化,【例3-14】,某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求： （a）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？ （b）使用寿命在8501450小时的灯管占多大比例？ （c）以均值为中心，95的灯管的使用寿命在什么范围内？,解,X使用寿命，XN (1050，2002 ),(2)(-1)0.977250.158650.8186,95的灯管寿命在均值左右392（即6581442）小时,1(2.75)10.997020.00298,3 原则,|X| 3 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在

13、- 3，+ 3 区间内 广泛应用: 产品质量控制 判断异常情况 ,正态分布最常用、最重要,大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布 例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量 特点是 “中间多两头少” 由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位 正态分布是许多概率分布的极限分布 统计推断中许多重要的分布（如2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。,用正态分布近似二项分布,XB (n，p) ，当n充分大时， XN (n p，np(1-p) 【例3-15】假设有一批种子的发芽率为0.7。现有这种

14、种子1000颗，试求其中有720颗以上发芽的概率。 解：设X发芽种子颗数，XB(1000，0.7)。近似地 XN (700，210)。 P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838,用正态分布近似二项分布,用正态分布近似二项分布的前提 n很大， p不能太接近 0 或 1（否则二项分布太偏） 一般要求np和np(1-p)都要大于5 如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似,计算正态分布的概率值,方法一：先标准化查标准正态分布函数值表 方法二：利用Excel来计算（不必标准化） 插入函数fx选择“统计”“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框

15、中， 在X后填入正态随机变量的取值区间点； 在Mean后填入正态分布的均值； 在Standard_dev后填入正态分布的标准差； 在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。,也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可 如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。 根据概率值F(Xx)求随机变量取值的区间点 x，选择函数“NORMINV”。 如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为500。,计算正态分布的概率值,3.3 大数定律与中心极限定理,一、大数定律 二、中心极限定理,一、大数定律,3.3 大数定律与中心极限定理,1. 独立同分布大数定律 2. 贝努里大数定律,独立同分布大数定律,大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。 独立同分布大数定律设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），则对任意小的正数, 有：,大数定律（续）,该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望的偏差任意小的概率接近于1。 该定理给出了平均值具有稳定性的