概率论第8章假设检验.

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1、假设检验的基本思想和方法 假设检验的一般步骤 假设检验的两类错误 课堂练习 小结 布置作业,第一节 假设检验,第八章 假 设 检 验,假设检验概述,这类问题称作假设检验问题 .,在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.,一、假设检验的基本思想和方法,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运. 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,例1:罐装可乐的标准容量是355毫升,例2(医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二组采用传统疗法。从治

2、疗结果表中，我们能否认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更好，还是由随机因素引起的？,例3 从某校2004年250名应届毕业生的高考成绩中随机抽取了50个，问能否根据这50个成绩判断该校在2004年高考成绩服从正态分布？,以上实际例子的解决都需要我们根据问题本身提出假设，然后根据样本的信息对假设进行检验，最后作出“是”与“否”的判断。,假设检验,参数假设检验,非参数假设检验,这类问题称作假设检验问题 .,总体分布已 知，检验关 于未知参数 的某个假设,总体分布未知时的假设检验问题,在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根

3、据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.,一、假设检验的基本思想和方法,让我们先看一个例子.,这一章我们讨论对参数的假设检验 .,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运. 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,把每一罐都打开倒入量杯, 看看容量是否合于标准.,罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间.,每隔一定时间，抽查若干罐 .,如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，X5，根据这些值来判断生产是否正常.,如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.,通常的办法是进行抽样检查.,很明显，不能由

4、5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是很大的.,当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.,如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.,在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.,现在我们就来讨论这个问题.,罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间.,它的对立假设是：,称H0为原假设（或零假设，解消假设）；,称H1为备选假设（或对立假设）.,H1：,这样，我们可以认为X1,X5是取自正态

5、 总体 的样本，,现在要检验的假设是：,那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？,较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.,差异可能是由抽样的随机性引起的，称为,“抽样误差”或 随机误差,这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机 波动.,然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.,必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.,问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？,即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起

6、的？,这里需要给出一个量的界限 .,问题是：如何给出这个量的界限？,这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,现在回到我们前面罐装可乐的例中：,在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？,在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用 表示.,常取,的选择要根据实际情况而定。,下面，我们再结合例子，进一步说明假设检验的一般步骤 .,二、假设检验的一般步骤,提出H0在H0成立时构造统计量和小概率事件A 进行1次试验或抽样若A发生推翻H0 若A没发生接受H0,基本步骤：,罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间. 一批可乐出厂前应进行抽

7、样检查，现抽查了n 罐，测得容量为 X1,X2,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？,(1) 提出假设,(2) 选检验统计量, N(0,1),由于 已知，,(3)对给定的显著性水平 ,可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使,(4)故我们可以取拒绝域为：,W：,(5)如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 .,如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域 W(拒绝域) 是个小概率事件. 如果该统计量的实测值落入W，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它. 否则我们就不能否定H0 （只好接受它）.,这里所依据的逻辑

8、是：,不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度 .,所以假设检验又叫,“显著性检验”,如果显著性水平 取得很小，则拒绝域 也会比较小.,其产生的后果是： H0难于被拒绝.,如果在 很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异.,基于这个理由，人们常把 时拒绝H0称为是显著的，而把在 时拒绝H0称为是高度显著的.,下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤 .,二、假设检验的一般步骤,提出H0在H0成立时构造统计量和小概率事件A 进行1次试验或抽样若A发生推翻H0 若A没发生接受H0,基本步骤：,三、一个正态总体的假设检

9、验,例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 若 =1.21，现从该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:,32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,问这批产品是否合格?,若 未知，问这批产品是否合格？,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,已知 X,第三步：,对给定的显著性水平 =0.05，查表确定,可得否定域 W: |U |1.96,其中,第四步：,将样本值代入算出统计量 U 的实测值,最后可以下结论否定H0，即认为这批产品是不合格的。,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,

10、能衡量差异大小且分布已知,第三步：,即“ ”是一个小概率事件 .,得否定域 W: |t |4.0322,故不能拒绝H0 ，即认为是合格品。,第四步：,将样本值代入算出统计量 t 的实测值,| t |=2.9974.0322,没有落入 拒绝域,这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著, 不足以否定H0 .,假设检验会不会犯错误呢？,由于作出结论的依据是下述,小概率原理,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,三、假设检验的两类错误,第一类错误：如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误 .称为“弃真错误”。,第二类错误：如果H0不成立，但统计

11、量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误 .称为“取伪错误”。,请看下表,假设检验的两类错误,P拒绝H0|H0为真= ,P接受H0|H0不真= .,犯两类错误的概率:,显著性水平 为犯第一类错误的概率.,两类错误是互相关联的， 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.,要同时降低两类错误的概率 或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量.,单、双侧检验,前面一例的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验.,下面看一个单侧检验的例子.,左侧检验：,右侧检验：,例3 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布,现在用

12、新方法生产了一批推进器。从中随机取 n=25只，测得燃烧率的样本均值为,设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平,U=3.1251.645,故拒绝H0 ，即认为这批推进器的燃料率较以往生产的有显著的提高。,落入否定域,解:提出假设:,取统计量,某织物强力指标X的均值 =21公斤. 改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得 =21.55公斤. 假设强力指标服从正态分布 且已知 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01 下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?,四、课堂练习,U=2.512.33,故拒绝原假设H0 ，即新生产织物比过去的织物的强力有提高。,落入否定域,解:提出假设:,取统计量,提出 假设,根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1,作出 决策,抽取 样本,检验 假设,对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）,拒绝还是不能 拒绝H0,显著性 水平,P(T W)= -犯第一 类错误的概率， W为拒绝域,五 、小 结,六、布置作业,