《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第二章 空间向量与立体几何 2.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第二章 空间向量与立体几何 2.2.2 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 第 2 课时 空间向量的数量积 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.下列命题中正确的是( ) A.(ab)2=a2b2 B.|ab|a|b| C.(ab)c=a(bc) D.若 a(b-c),则 ab=ac=0 解析:对于 A 项,左边=|a|2|b|2cos2, 右边=|a|2|b|2, 左边右边,故 A 错误. 对于 C 项,数量积不满足结合律,C 错误. 在 D 中,a(b-c)=0,ab-ac=0, ab=ac,但 ab 与 ac 不一定等于零,故 D 错误. 对于 B 项,ab=|a|b|cos,-1cos1,|ab|a|b|,故 B 正确. 答案:B 2.如图,已知
2、空间四边形每条边和对角线长都等于 a,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2的是( ) A.2 B.2 C.2 D.2 解析:2=-a2,故 A 错;2=-a2,故 B 错;2=- a2,故 D 错;2=a2,故只有 C 正确. 答案:C 3. 如图,已知 PA平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=1,则 PC 等于( ) A.B.1 C.2D.4 - 2 - 解析:,+2=1+1+1+21cos 60=4, |=2. 答案:C 4.已知 a,b 是两个非零向量,现给出以下命题: ab0; ab=0= ; ab; |ab|=|a|b|=. 其中
3、正确的命题有( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断. a,b 为非零向量,|a|0,|b|0. 又ab=|a|b|cos,且 0, 于是 ab0cos0; ab=0cos=0=; ab. 因此,命题均为真命题. |ab|=|a|b|cos|=1=0 或 , |ab|=|a|b|= 不正确,即命题为假命题.故选 C. 答案:C 5.若|a|=|b|,且非零向量 a,b 不平行,则 a+b 与 a-b 所在直线所形成的角的大小是 . 解析:如图,作=a,=b,以为邻边作OACB,则=a+b,=a-b. 又|a|=|b|,四边形 OA
4、CB 为菱形, ,故 a+b 与 a-b 的夹角为. 答案: 6.导学号 90074024已知|a+b|=2,|a-b|=3,且 cos= ,则|a|= ,|b|= . 解析:由|a+b|=2,知 a2+2ab+b2=4. 由|a-b|=3,知 a2-2ab+b2=9. 故 2a2+2b2=13,则|a|2+|b|2=. - 3 - 由 cos=, 得|a|2-|b|2=. 由,得|a|=2,|b|=. 答案:2 7.已知 a,b,c 中每两个的夹角都是 ,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,试计算|a+b+c|. 解|a|=4,|b|=6,|c|=2,且= ,|a+b+c|2=(a+b+c
5、)(a+b+c) =|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc =|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos+2|a|c|cos+2|b|c|cos=42+62+22+46+42+62=100,|a+b+c|=10. 8. 如图,在四面体 A-BCD 中,AB=2,BC=3,BD=2,CD=3,ABD=30,ABC=60,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值. 解, =|cos=22cos 150-23cos 120=-6+3=-3, cos=0,0,BCD 为锐角,cos0,BDC 为锐角,即BCD 为锐角三角形. 答案:B 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O
6、 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1的中点,用向量法证明:A1O平面 GBD. 证明设=a,=b,=c,则 ab=0,bc=0,ac=0.而)=c+ (a+b),=b-a, )+(a+b)- c, 所以(b-a) =c(b-a)+(a+b)(b-a) =cb-ca+(|b|2-|a|2)=(|b|2-|a|2)=0. 所以.所以 A1OBD. 同理可证,所以 A1OOG.又因为 OGBD=O,且 A1O平面 GBD,所以 A1O平面 GBD. 5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60,AA1=AB=AD=. (1)求|; (2)求证:AC1平面
7、A1BD; (3)求的夹角. (1)解令=a,=b,=c,则=a+b+c, |=|a+b+c|= =(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca =+2+2=3. (2)证明 =a-c,=(a+b+c)(a-c)=a2-ac+ba-bc+ca-c2=0. - 6 - ,又=b-c,同理, AC1垂直于平面 A1BD 内的两条相交直线 A1D,A1B,AC1平面 A1BD. (3)解 cos= =-. 的夹角为 -arccos. 6.导学号 90074025如图,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 的边长均为 1,且平面 ABCD平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若 CM=BN=a(0a). (1)求 MN 的长度; (2)求当 a 为何值时,MN 的长最小. 解(1)由题意,得 AC=,BF=,CM=BN=a, . = =)+) =)-(-) =. |= - 7 - = =(0a). (2)由(1),知当 a=时,|有最小值为,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,且最小值为.
