中国海洋大学计量经济学3-多元线性回归模型-2课件

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1、第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型,多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 多元回归模型的其他形式 回归模型的参数约束,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定,一、多元线性回归模型, 多元线性回归模型 回归模型的矩阵表达式,1、多元线性回归模型,多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多 个。一般表现形式为： i=1,2,n 其中:k为解释变量的数目，i称为回归参数（regression coefficient）。而习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测

2、值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（k+1）。所以，上式也被称为总体回归函数的随机表达形式。 它的非随机表达式即：总体回归函数为： 表示：各变量Xi值固定时Y的平均响应。 i也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xi每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化； 或者说i给出了Xi的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。,2、矩阵表达式,用来估计总体回归函数的样本回归函数为： 其随机表示式: ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。 总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为: 样本回归函数（模型）的矩阵表达式

3、:,二、多元线性回归模型的基本假定, 随机项假定 解释变量假定 其他假定,1、随机假定（是针对随机误差项的假定）,零均值： 同方差： 序列不相关性假定： 正态分布假定： 向量 有一多维正态分布，即：,2、解释变量假定,解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。即：n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 解释变量与随机项不相关 E(X)=0，即：,3、其他假定,同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设： 样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数（该假定是为了避免产生伪回归问题），即n时，有： 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量

4、的离差为元素组成的nk阶矩阵： 假定回归模型的设定是正确的。,3.2 多元线性回归模型的估计,一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、案例分析,说 明,估计方法主要有三大类方法：OLS、ML或者MM 在经典模型中多应用OLS 在非经典模型中多应用ML或者MM 在本节中， ML与MM为选学内容,一、普通最小二乘估计, 普通最小二乘估计 普通最小二乘估计的矩阵表达式 参数估计的矩阵表达式 案例分析 离差形式的普通最小二乘估计 随机误差项的方差的无偏估计,1、普通最小二乘估计,对于随机抽取的n组观测值： 如果样本函数的参数估计值已经得到，则

5、有： i=1,2n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是一阶条件正规方程组的解，即： 其中：,2、普通最小二乘估计的矩阵表达式,待估参数估计值的正规方程组为： 解该方程组，即可得到 k+1个待估参数的估计值。 正规方程组的矩阵形式：,3、参数估计的矩阵表达式,正规方程组的矩阵形式，即： 由于XX满秩，故有： 将上述过程用矩阵形式表示为： 即求解方程组： 得到： 于是有：,4、案例分析,案例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出中， 可求得： 于是得到参数估计值：,5、离差形式的普通最小二乘估计,对于正规方程组 于是有： (*) ，或者： (*) (*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组

6、的另一种写法。 样本回归模型的离差形式： i=1,2n 其矩阵形式为： 其中 ： 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为,6、随机误差项的方差的无偏估计,可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为：,*二、最大或然估计（ML）,对于多元线性回归模型 易知 ，Y随机抽取的n组样本观测值的联合概率 上市就是变量Y的或然函数，其对数或然函数为： 对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。因此，参数的最大或然估计为： 结果与参数的普通最小二乘估计相同,*三、矩估计（Moment Method, MM）, 参数的MM（矩估计）估计量 广义矩估计方法,1、参数的MM（矩估计法）估计量, OLS估计是通过得

7、到一个关于参数估计值的正规方程组： 并对它进行求解而完成的。 该正规方程组 可以从另外一种思路来导: = = 称其期望表达式： 为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。 由此得到正规方程组的解： 该正规方程组的解即是参数的MM估计量。 这种估计样本回归方程的方法称为矩估计法MM。 易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。,2、广义矩估计方法,矩估计方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础 在矩估计方法中利用了关键基本假设：E(X)=0 如果某个解释变

8、量与随机扰动项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件，这就是工具变量方法（ IV ）。 如果存在大于k+1个变量与随机扰动项不相关，则可以构成一组包含大于k+1方程的矩条件。这就是广义矩估计方法（ G MM ）。 后面的课程中会给予介绍,四、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量还具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 线性性和无偏性 最小方差特性（有效性）,1、线性性和无偏性,线性性：是指参数估计量是被解释变量Y的线性组合。即： 其中,C=(X X)-1X

9、为一仅与固定的X有关。 无偏性：是指参数估计量的期望值与其真实值相等。即： 这里利用了X与互不相关的基本假设: E(X)=0,2、有效性（最小方差性）,其中利用了： =(XX)-1X（X+）=+(XX)-1X 和,五、样本容量问题,1、最小样本容量 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项），即n k+1。因为，无多重共线性的要求是：满秩(X)=k+1 2、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用；n-k8时, t分布较为稳定 一般经验

10、认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明。,六、案例分析-参数估计,案例3.2.2。在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。增加一个解释变量：前期消费CONSP(-1)，估计区间：19792000年，Eviews估计结果,3.3 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间,一、拟合优度检验,在一元或多元回归模型中，可决系数是用来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。 可决系数 调整的

11、可决系数（adjusted coefficient of determination） 赤池信息准则和施瓦茨准则,1、可决系数,总离差平方和的分解： 则有： 由于: =0 所以有：,注意：一个有趣的现象 可决系数 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?这是因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减小) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关。因此， R2不是一个合适的指标，需要调整。,2、调整的可决系数 在样本容量一定的情况下

12、，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是：将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响： 调整的可决系数： 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。,3、赤池信息准则和施瓦茨准则,为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有： 、赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） 、施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）： 这两个准则均要求：仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时，才可以在原模型中增加该解释变量。 在案例3.2.2中，中国居民消费

13、二元模型中：AIC=6.68，SC=6.83 。在案例2.5.1中，中国居民消费一元模型中：AIC=7.09，SC=7.19。从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应包括在模型中。,二、方程的显著性检验(F检验),方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。 方程显著性的F检验 拟合优度检验与方程显著性检验的关系,1、方程显著性的F检验,方程显著性的F检验，即检验多元回归模型： Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n 中的参数j是否显著不为0。 可提出原假设H0：0=1=k=0；备择假设H1：j不全为0

14、F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。,根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量： 服从自由度为(k , n-k-1)的F分布。 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过：F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。 对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92；二元模型：F=

15、2057.3 给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32；二元例： F(2,19)=3.52。 显然有 F F(k,n-k-1) ，即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。,2、拟合优度检验与方程显著性检验的关系,由： 与： 可推出： 或： 在中国居民人均收入消费一元模型和二元模型中，有： 如果我们先得到R2=0.1935，则肯定认为模型拟合质量不高，但它的总体线性关系的显著性水平达到了95%。这样，在应用中不必对R2过分苛求，重要的是需要考察模型的经济关系是否合理。,三、变量的显著性检验（t检验）,方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的 t 检验完成的。 t 统计量 t 检验 案例分析,1、t 统计量,由于： 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为： 其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替: 因此，可构造如下t统计量,2、t 检验,设计原假设与备择假设：H0：i=0（i=1,2k），H1：i0 给定显著