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1、2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（理）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1若,则A B C D2设集合，则集合A B C D3已知各项为正数的等比数列中，则公比qA2 B3 C4 D54若两个单位向量
2、，的夹角为，则A B C D5已知命题：幂函数的图象必经过点和点；命题：函数的最小值为.下列命题为真命题的是A B C D6设变量、满足约束条件，则的最小值为A-3 B-2 C0 D67将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为A B C D8已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A B C D9已知为等腰三角形，满足，若为底上的动点，则A有最大值 B是定值 C有最小值 D是定值10函数的图象大致为A B C D11如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值A B C D12设函数若关于的
3、方程有四个不同的解且则的取值范围是A B C D二、解答题13已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足 （1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前项和14已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：15如图，在四面体中，.（）证明：；（）若，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.16已知（）当时，求的极值；（）若有2个不同零点，求的取值范围.17选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心，
4、为半径的圆，直线的参数方程为（1）求与的直角坐标系方程；（2）若直线与圆交于、两点，求的面积.18选修45；不等式选讲已知函数（）当时，解关于的不等式；（）若的解集包含，求实数的取值范围.三、填空题19等差数列的前项和分别为和，若，则_.20已知向量，且，则角的值为_（用反三角函数形式表示）21已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为_22已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_.12019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（理）试题数学 答 案参考答案1C【解析】试题分析： ，选C.考点：复数运算【名师点睛】本题重点考
5、查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2B【解析】【分析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次
6、不等式的解集.3A【解析】【分析】由于数列为等比数列，将已知条件转化为的形式，解方程组可求得的值.【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列各项为正数，故，选A.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.4D【解析】【分析】将所求变为，然后利用数量积模的运算，求出结果.【详解】依题意得.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算后求模的题目的求解方法，含有模的向量运算的题目，一般考虑先平方后开方的方法来求解.在解题过程中，要注意的是题目所给的向量为单位向量，故它们的模为，另一个是，和，其中是向量的夹角.属于基础题.5B【解析】【分析】利用幂函
7、数的性质判断命题的真假，利用函数的单调性，及对钩函数的性质，判断命题的真假，最后利用含有逻辑联结词命题真假性的判断得出正确选项.【详解】函数不经过原点，故命题为假命题.，由于而函数在上是增函数，最小值为，故的最小值为，此时.故命题为真命题.故，为假命题，为真命题.故选B.【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，还考查了幂函数的性质，以及基本不等式运用的条件.对于幂函数来说，一定过的定点是，如果幂函数在处有定义的话，才过点.基本不等式运用时要注意等号是否成立，本题不能用基本不等式来求解.6C【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由
8、此求得最小值.【详解】画出可行域如下图所示. 向上平移基准直线到点的位置时，目标函数取得最小值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求解目标函数的最小值.要注意的是由于，故要求的最小值，实际上是截距的最大值，故需要将基准直线向上平移到可行域的边界位置，此时截距取得最大值，取得最小值.如果题目改为，则需要向下平移来取得最小值.7A【解析】【分析】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变为原来的.向右平移个单位即要.通过上面两个步骤得到变换后的函数解析式后，再根据三角函数的对称轴公式求得相应的对称轴.【详解】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变成.向右平移个单位变为.当时，函数取得最大值，故对
9、称轴为，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是周期变换和相位变换，还考查了三角函数图像的对称轴的求法，属于基础题.8D【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9D【解析】【分析】设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【详解】设是等腰三角形的高，长度为.故 .所以选D.【点睛】本小题主
10、要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.10C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数 ，可得，当时，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象11B【解析】【分析】先根据已知得到，再根据得，即,利用
11、三角恒等变换化简原式为，代入的值即得解.【详解】由图易知知.由题可知，.由于知，即，即.则 .故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的平方关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是化简原式为.12A【解析】【分析】画出函数的图像，通过观察的图像与的交点，利用对称性求得与的关系，根据对数函数的性质得到与的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据对称性可知，和关于对称，故.由于，故.令，解得，所以. ，由于函数在区间为减函数，故，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的
12、对称性，考查对数函数的性质，以及函数图像的交点问题，还考查了利用函数的单调性求函数的值域的方法，属于中档题.13【解析】试题分析： 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出试题解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，解得，数列的前n项和，点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两
13、式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.14（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设结合中点坐标公式计算可得的标准方程为半径，则的标准方程为 （2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得联立直线与抛物线的方程有设，利用韦达定理结合弦长公式可得 则即 详解：（1）设的标准方程为，则已知在直线上，故可设 因为关于对称，所以解得 所以的标准方程为 因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为 （2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以由消去并整理得：设，则，那么 所以所以，即 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与
14、系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式15(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；（2）由四面体的体积为2，得，所以平面，以，为，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt斜边上的高，连结因为，所以RtRt可得所以平面，于是 （2）在Rt中，因为，所以， ，的面积因为平面，四面体的体积，所以，所以平面以，为，轴建立空间直角坐标系则， ，设是平面的法向量，则，即，可取设是平面的法向量，则，即，可取因为，二面角的平面角为钝角，所
