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1、第二章 二次函数,第二节二次函数的图象与性质（第4课时）,北师版九年级数学下册,a0,开口向下.,a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小 .,a0, 开口 向上;,a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大;,我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图像和性质吗？,例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,提示：利用配方法将二次函数y=2x2-8x+7化成y=a（x-h）2+k的形式呗！,解： y=2x2-8x+7,=2（x2-4x）+7,=2
2、（x2-4x+4-4）+7,=2（x2-4x+4）-8+7,=2（x-2）2+7,因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2，-1）,做一做,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：,（1）y=3x2-6x+7; （2）y=2x2-12x+8,（1）对称轴是直线x=1,顶点坐标为（1,4）； （2）对称轴是直线x=3,顶点坐标为（3，-10）。,如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理、化简:前三项化为平方形式,去掉中括号后两项合并同类项,解：把二次函数y=ax+bx+c的右边配方，
3、得,例2:求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,结论 顶点坐标公式,如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示,而且左、右两条抛物线关 于y轴对称,做一做,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 两条钢缆最低点之间的距离是多少？,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？,可以将函数 配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;,两条钢缆最低点之间的距离是多少？,你知道图中右面抛物线的表达式是什么吗？,想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？,请你总结函数
4、y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,请你总结函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
5、a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,二次函数y=ax2+bx+c与y=ax的关系,2.不同点: (1)位置不同 (2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和0.,二次函数y=ax2+bx+c与y=ax的关系,3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成 y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| | 个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,二次函数y=ax2+bx+c与y=ax的关系,用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：,练
6、习,（1）直线x=3,(3,-15); （2）直线x=8,(8,1); （3）直线x=1.25,(1.25,-1.125); （4）直线x=0.75,(0.75,9.375).,如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b2a D.ac0,选B.抛物线开口向上，a0, 抛物线与y轴交于正半轴，c0，ac0，故D错；OA=OC=1，A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，a-b=-c=-1，故B
7、对；由图象可知x=1时，y0，即a+b+c0，a+b-1，故A错；对称轴 ，b2a，故C错.,选C.,二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论a，b异号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=4时，x的取值只能为0其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,A.0，5 B.0，1 C.-4，5 D.-4，1,选D.,若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b,k的值分别为（ ）,已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a0 B.c0 C.b24ac0 D.abc0,选D.,A.第一象限 B.第二
8、象限C.第三象限 D.第四象限,选D.,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过( ),已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 .,小结： 学完本课后你有哪些收获？,作业： 习题2.5 1、2、3、4、5题。,课后习题,指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证： （1）y=2(x-2)2+5; （2）y=2x2-4x-1; （3）y=3x2-6x+2; （4）
9、y=-3(x+3)(x+9).,(1)开口向上，直线x=2,(2,5); (2)开口向上，直线x=1,(1,-3); (3)开口向上，直线x=1,(1,-1); (4)开口向下，直线x=-6,(-6,27).,当火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？,将二次函数y=x2-2x+1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2+bx+c,求b,c的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证,b=4,c=6,开口向上，对称轴为直线x=-2,顶点坐标为（-2,2）。,15s，1135m.,有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x(min)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x+43(0 x 30).y值越大，表示接受能力越强。根据这一结论回答下列问题： （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （2）经过多长时间，学生的接受能力最强？,（1）当0 x 13时，学生的接受能力逐渐增强；当x=13时，学生的接受能力最强；当13 x 30时，学生的接受能力逐渐降低. （2）13min.,
