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1、第二章 二次函数,回顾与思考（第1课时）,回顾与思考,1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图象来进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流. 3.小结画二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.,知识框架,二次函数,定义,图象,相关概念,抛物线,对称轴,顶点,性质和图象,开口方向、对称轴、顶点坐标,增
2、减性,解析式的确定,一般式 y=ax2+bx+c,顶点式 y=a(x-h)2+k,交点式y=a(x-x1)(x-x2),关联,二次函数与一元二次方程的关系,知识点1、二次函数的定义,定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数.,提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a0.,(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.,下列函数中,哪些是二次函数？,怎么判断？,(1）y=3(x-1)+1;,(3) s=3- t.,(5)y=(x+3)-x.,随堂演练1,（是）,（是）,（不是）,（不是）,（不是）,
3、（一）抛物线y = ax 2 (a0) 的图象特点,向上,向下,x=0（y轴）,(0,0),向上,向下,x=0（y轴）,（0，k）,知识点2、二次函数的图象与性质,（二）抛物线y = ax 2+k (a0) 的图象特点,向上,向下,直线x=h,（h，0）,（三）抛物线y = a(x-h)2 ( a0 ) 的图象特点,(四) 抛物线y = a(x-h)2 +k (a 0) 的图象特点,（h，k）,向上,向下,直线x=h,1、平移关系,2、顶点变化,当h0时,向右平移,当h0时,向左平移,y=ax2,y=a(xh)2,（h,0),（0,0),当k0时,向上平移,当k0时,向下平移,y=a(xh)2
4、+k,（h,k),知识点3、抛物线的平移,观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？,y=x2-6x+7,=x2-6x+9-2,=(x-3)2-2,巩固练习1： （1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；,（2)已知y = - nx 2 (n0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。,上,y轴,(0,0),一、二,不可能,（3）抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的；,上,x=0,（0，3）,上,3
5、,（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。,0.5,-2,0.5x 2-2,（5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。,上,x=1/2,（1/2，1）,a0,a0,开口方向,向上,向下,顶点,对称轴,增减性,最 值,当 时,当 时,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+
6、c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（ ） A.a0且b2-4ac0 B.a0且b2-4ac0 C.a0且b2-4ac0 D.a 0且b2-4ac 0,2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a 0 ,b 0, c 0 , 0 , a-b+c 0,a+b+c 0,=,C,3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）,4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a0,b0,c0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.,C,2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)
7、、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),二次函数解析式的三种表示方式,1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x
8、-1)2+2 即： y=-2x2+4x,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，ACB=90，求抛物线解析式。,解： 点A在正半轴，OA=4， 点A（4，0） 点B在负半轴， OB=1， 点B（-1，0） 又 ACB=90 OC2=OAOB=4 OC=2，点C（0，-2） 抛物线的解析式为,4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)当x为何值时，y随x的增大而增大？,(2)当x为何值时，y0？,(3)求它的解析式和顶点坐标。,作业：课本复习题15,
