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1、计量经济学 理论方法EViews应用 郭存芝 杜延军 李春吉 编著,电子教案,第三章 多元线性回归模型, 学习目的,理解多元线性回归模型的矩阵表示，掌握多元线性回归模型进行参数估计、检验和预测。, 基本要求,1) 理解多元线性回归模型的矩阵表示； 2) 了解多元线性回归模型的基本假设、多元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、多元线性回归模型随机误差项方差的估计； 3) 学会对多元线性回归模型进行拟合优度检验，对多元线性回归模型的参数进行区间估计，掌握变量的显著性检验和方程的显著性检验； 4) 学会进行多元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值预测； 5)学会利用Eview
2、s软件进行多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。,第三章 多元线性回归模型,第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型,多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测,第一节 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定,一、多元线性回归模型,多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式：,i=1,2,n,其中:k为解释变量的数目，j称为回归系数（regression coefficient）。,也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的非随机表达式为:,表示：各变量X值固定时Y的平
3、均响应。,习惯上：把常数项（或截距项）看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）,总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:,其中,j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化; 或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。,用来估计总体回归函数的样本回归函数为：,其随机表示式:,ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达:,或,其中：,二、多元线性回归模型的基本假定,假设1，解释变
4、量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。,假设3，解释变量与随机项不相关,假设4，随机项满足正态分布,上述假设的矩阵符号表示：,假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 假设2，,回忆线性代数中关于满秩、线性无关!,对角线说明了扰动项的同方差性！对角线之外说明了扰动项的序列无关性！,假设4，向量 有一多维正态分布，即,假设3，E(X)=0，即,假设5，回归模型的设定是正确的。,第二节 多元线性回归模型的 参数估计,任务,方法,普通最小二乘法,一、参数的普通最小二乘估计,二、参数的普通最小二乘估计
5、量的性质,三、普通最小二乘样本回归函数性质,五、样本容量问题,四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计,内容,估计方法： 3大类方法：OLS、ML（最大似然法）或者MM（矩估计法） 在经典模型中多应用OLS 在非经典模型中多应用ML或者MM 在本节中， ML与MM为选学内容,多元线性回归模型参数估计的任务： 1，求结构参数的估计量 2，求得随机干扰项的方差估计,一、普通最小二乘估计,对于随机抽取的n组观测值,如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：,i=1,2n,根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解,其中,最小化问题的一阶条件。,于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：,正规方程组的
6、矩阵形式,即,由于XX满秩，故有,正规方程组 的另一种写法,对于正规方程组,于是,或,(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法。,(*),(*),二、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计具有： 线性性、无偏性、有效性。,同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。,1、线性性,其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 。可见，参数估计量是被解释变量Y的线性组合。,2、无偏性,等于0，因为解释变量与随机扰动项不相关。,这里利用了假设: E(X)=0,3、有效性（最小方差性）,其中利用了,和,三、普通最小
7、二乘样本回归函数性质,。,四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计,容易看出，多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估 计量，与一元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量一致。,因为在一元线性回归模型中k=1。,所以，残差平方和可用矩阵表示为,（3-19）,五、样本容量问题,样本容量越大，样本观测数据对经济活动的反映越全面，从样本 观测数据中发现规律的可能性就越大，计量经济研究的结果就越可靠。,参数估计的最小样本容量要求是,第三节 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间,多元线性回归模
8、型的参数估计出来后，即求出样本回归函数后，还需进一步对该样本回归函数进行统计检验，以判定估计的可靠程度。,一、拟合优度检验,1、可决系数与调整的可决系数,总离差平方和的分解,残差,离差分解,所以，在多元线性回归模型中，依然有,（3-20）,可决系数,该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。,问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?) 因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少。 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，R2
9、就不是一个合适的指标，必须加以调整。,调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）,在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:,其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 显然，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平方和RSS的减小没有多大的帮助，却增加了待估参数的个数，从而使得 有较大幅度的下降。,没有绝对的标准，要看具体的情况而定。模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义
10、，可以牺牲一点拟合优度。,*赤池信息准则和施瓦茨准则,为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC）,施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）,这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时才在原模型中增加该解释变量。,二、方程的显著性检验(F检验),方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。,1、方程显著性的F检验,即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n 中的参数 是
11、否显著不为0。,方程的显著性检验所应用的方法仍是数理统计学中的假设检验。,可提出如下原假设与备择假设：,H0： 1=2= =k=0 H1： j (j=1,2,k)不全为0,F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS,如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。 因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。,根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量,服从自由度为(k , n-k-1)的F分布。,给定显著性水平，查表可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k
12、-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。,2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论,拟合优度检验和方程总体线性的显著性检验是从不同原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度，后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关系的显著性。 二者又是关联的，模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强。 因此，找到两个用作检验标准的统计量之间的数量关系，在实际应用中互为验证，是有实际意义的。,由,可推出：,与,或,这两个统计量之间的关系：,三、变量的显著性检验（t检验）,方程的总体线性关系
13、显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 如果某个变量对被解释变量的影响并不显著，就应该将它剔除，以建立更为简单的模型。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。,1、t统计量,由于,以cjj表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第j+1个元素，于是参数估计量的方差为：,其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:,因此，可构造如下t统计量,因为 服从如下正态分布,2、t检验,设计原假设与备择假设：,H1：j0,给定显著性水平，查表可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过 |t
14、| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。,H0：j=0 （j=0,1,2k）,双尾,注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致,一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：,在实际中，各个变量的t值相差较大，有的在很高的显著性水平下影响显著，有的则在不太高的显著性水平下影响显著，是否都认为通过显著性检验？ 没有绝对的显著性水平。关键仍然是考察变量在经济关系上是否对解释变量有影响，显著性检验起到验证的作用；同时还要看显著性水平不太高的变量在模型中及模型应用中
15、的作用，不要简单的剔除变量。,四、参数的置信区间,参数的置信区间用来考察：在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”。 在变量的显著性检验中已经知道：,容易推出：在(1-)的置信水平下j的置信区间是,其中，t/2为显著性水平为 、自由度为n-k-1的临界值。,如何才能缩小置信区间？,增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小； 提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小，置信区间的就越窄。,在实际应用中，我们希望置信度越高越好，置信区间越小越好。,提高
16、样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散， 的分母的|XX|的值越大， 越小，致使区间缩小。,值得注意的是： 置信度的高低与置信区间的大小存在此消彼涨的关系。置信度越高，在其他情况不变时，临界值越大，置信区间越大。如果要求缩小置信区间，在其他情况不变时，就必须降低对置信度的要求。,第四节 多元线性回归模型的 预测,被解释变量的总体均值的点预测,被解释变量的总体均值的区间预测,被解释变量的个别值的区间预测,( Why? ),（3-33）,表3-1 某商品的销售量、价格、售后服务支出数据,例3-6,假设已获得了某商品的销售量、价格、售后服务支出数据如表3-1所示，,求价格为1250 元/个、售后服 务支出为16万 元时销售量的 预测值。,263.603（千个）,由于,所以,
