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1、第4章 异方差性,本章内容,4.1 异方差性及产生原因 4.2 异方差性的影响 4.3 异方差性的检验 4.4 异方差性的解决方法,回顾一元和多元回归模型的基本假设，第3条为同方差假设，即D(ui) = 2 当违反这条基本假设，随机误差项的方差不是常数， 即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机误差项具有异方差性。 D(ui) f(xi) = i 2 2（常数）,异方差情形,同方差情形,异方差性(heteroscedasticity)的定义,单调递增型 单调递减型,复杂型,异方差的类型,1、模型中遗漏了某些解释变量 2、模型函数形式的设定误差 例如：用线性模型替代了非线性模型等 3、样本数据
2、的测量误差 例如：随着时间推移，抽样技术等其他搜集方法的改进，会使测量误差逐步减小。 4、随机因素的影响 经验：截面数据中常存在异方差。时间序列中一般不会发生，除非时间跨度过大。,产生异方差的原因,异方差性的影响,OLS估计量仍然具有无偏性和线性性，但不具有有效性,2. 变量的显著性检验失去意义,1. 参数估计量非有效,3. 模型的区间预测失效,当Var(ut) = t2，为异方差时（ t2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和线性。 但是不再具有有效性（最小方差性） 四、 图示方法初步判定异方差 1、 利用y-x的散点图做初步判断(有时看不出) 2、 利用e2-x的散点图
3、做初步判断(相对准确) 3、 利用残差图做初步判断(如果为时间序列数据，判断相对可信，截面数据判断不准确),异方差性的检验,y-x的各种形式,(a)同方差，(b)-(e)为异方差 但凡不是(a)情况，都表示有异方差,e2-x的各种形式,有异方差 同方差（无异方差）,用残差图判断(有时不够准确),实际经济问题中的异方差,例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为: Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。,高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化,一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人
4、数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。,实际经济问题中的异方差,（ Goldfeld-Quandt 检验，戈德菲尔德匡特检验） 适用样本容量较大，递增或递减型异方差 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有异方差。 检验步骤： （1）把n组样本观测值按疑似异方差的解释变量大小顺序排列,戈德菲尔德匡特检验,（2）将序列中间的 c=n / 4个观测值去除，余下的n-c个观测值自然分成容量相等的两个子样本,每个组的样本容量为(n-c)/2个。,n1 = n2,（3）用两个子样本分别估计回归直线，并
5、计算残差平方和。 相对于n2 和n1 分别用RSS2 和RSS1表式。 （4）构造F统计量。在H0成立条件下,判别规则如下， 若 F F (n2- k-1, n1-k-1), 不拒绝H0（ut 具有同方差） 若 F F(n2- k-1, n1-k-1), 拒绝H0（递增或递减型异方差） 注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差（这种判断存在局限性）。 此法只适用于递增型或递减型异方差。 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。 检验结果与删除的数据个数有关 要求大样本,由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
6、要求必须是单调递增或递减异方差。 以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。 H0：ut为同方差， H1：ut存在异方差。 yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut （1）首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 （2）做如下辅助回归式， = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 求辅助回归式的可决系数R2。 注：上式中要保留常数项。,怀特（White）检验（最常用）,交叉项,在同方差假设条件下，构造统计量 nR 2 2(5) n表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。自由度5表示辅助回归式中解释变量
7、项数（注意：不包括常数项，如果是一元线性回归，则要查2(2) ）。 （4）判别规则是 若 nR 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 n R 2 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差） 注:一元回归不包括交叉项（只有x和x2两项），多元回归包括交叉项,软件输出怀特检验结果,nR2检验的P值大于0.05，表明没有异方差 注：obs*R-squared表示nR2,nR2检验的P值小于0.05，表明有异方差,察看怀特检验的P值可以直接判断是否存在异方差,检验异方差的怀特检验,戈里瑟检验,1. 基本思想,用OLS得到残差，取得绝对值，然后将它与某解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟
8、合优度来判断是否存在异方差,2. 特点,不仅能对异方差的存在进行判断，而且能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。 要求变量的观测值为大样本。,3. 步骤,根据样本数据建立模型，并求残差序列ei 建立|ei|或ei2与Xji的函数，并用样本数据回归。 判断：用回归得到的R2、t、F等信息判断，所建立的函数形式是否显著。若残差项与某解释变量间的函数关系显著成立，则说明原模型存在异方差。,ARCH检验（自回归条件异方差）,对多元线性回归模型，如果其随机扰动项的方差满足,称t服从q阶的ARCH过程，记作,对多元线性回归模型，作回归，得到残差et。 作辅助回归，得到R2。 构造统计量， H0：
9、 若 拒绝H0，存在异方差。,步骤,变量的取值为大样本，并且是时间序列 只能判断模型中是否存在异方差，而不能诊断出哪个解释变量引起了异方差,ARCH检验 的 特点,六、异方差的修正 1、对解释变量和被解释变量作全对数模型估计(只能部分的减弱异方差的程度) 2、加权最小二乘法 （weighted least squares,WLS）,模型变换法与加权最小二乘法,模型变换法,加权最小二乘法,例1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,例1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,Goldfeld-Quandt 检验,去掉中间9个观测值。 用第1个子样本回归： ，RSS1=150867.9 用第2个子
10、样本回归： ，RSS2=958109.4 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 构造F统计量。 因为F =6.35 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。,例 1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,White检验,由怀特检验值可看出模型存在异方差，需要修正,例 1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,例 1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,加权修正后，怀特检验显示模型不再有异方差,例2 产品成本cz与产品产量bz做一元线性回归,例2 产品成本cz与产品产量bz做一元线性回归,残差有明显放大趋势,通过怀特检验，证明确实存在异方差,例2 产品成本c
11、z与产品产量bz做一元线性回归,做全对数模型进行异方差的修正,不存在异方差了,例2 产品成本cz与产品产量bz做一元线性回归,对模型进行加权最小二乘估计对异方差进行修正,例2 产品成本cz与产品产量bz做一元线性回归,修正结果不存在异方差,例2 产品成本cz与产品产量bz做一元线性回归,残差图中看不到异方差（左图）。原因是没有把数据按解释变量排序。数据排序并估计后得到的残差图明显存在异方差（右图）。 对时间序列数据没有要求，是因为通常时间序列的解释变量数据走势都是递增的，按照时间顺序排列，自然的相当于按照解释变量大小排列。,注：对于截面数据一定要先按解释变量排序 才有可能观察到异方差,课后选择题答案,本次课程结束 谢谢,
