计量经济学第二版-第三章多元线性回归模型

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1、多元线性回归模型,计量经济学,第三章,2,引子:中国已成为世界汽车产销第一大国,2009年，为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长， 国家出台了一系列促进汽车消费的政策，有效刺激了汽车消费市 场，汽车产销呈高增长态势，首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年，汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆，同比增长 48.3%和46.15%。 是什么因素导致中国汽车数量的增长? 影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的，经济增长、 消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内 外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。,3,分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国

2、汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？ （如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等） 各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。,怎样分析多种因素的影响？,4,本章主要讨论: 多元线性回归模型及古典假定 多元线性回归模型的估计 多元线性回归模型的检验 多元线性回归模型的预测,5,第一节 多元线性回归模型及古典假定 一

3、、多元线性回归模型的意义 一般形式：对于有K-1个解释变量的线性回归模型 注意：模型中的 （j=1,2,-k）是偏回归系数 样本容量为n 偏回归系数：控制其它解释量不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，即对Y平均值“直接”或“净”的影响。,5,6,多元线性回归中的“线性” 指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则可以是线性的，也可以是非线性的 例如：生产函数 取对数 这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、lnL、lnK,7,多元总体回归函数 条件期望表现形式： 将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如: 注意：这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线

4、 个别值表现形式： 引入随机扰动项 或表示为,8,多元样本回归函数 Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 或回归剩余（残差）： 其中,9,多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可 表示为 用矩阵表示,9,10,总体回归函数 或 样本回归函数 或 其中： 都是有n个元素的列向量 是有k 个 元素的列向量 （ k = 解释变量个数 + 1 ） 是第一列为1的nk阶解释变量数据矩阵 ， (截距项可视为解释变量总是取值为1),矩阵表示方式,11,假定1：零均值假定 （ i=1，2，-n） 或 E（u）=0 假定2和假定3：同方差和无自相关假定： 或用方差-协方差矩阵表示为:,（i=j

5、）,(ij),0,12,假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的) 假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值 矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。 Ran(X)= k Rak(XX)=k 即 (XX) 可逆 假定6:正态性假定,12,假定4：随机扰动项与解释变量不相关,一、普通最小二乘法（OLS） 原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 即 求偏导，并令其为0 其中 即,13,14,用矩阵表示的正规方程 偏导数 因为样本回归函数为 两边左乘 根据最小二乘原则 则正规方程为,15,OLS估计式 由正规方程 多元回归的OLS估计量为 当只有两个解释变量时

6、为： 注意： 为X、Y的离差,对比,简单线性回归中,16,回归线通过样本均值 估计值 的均值等于实际观测值 的均值 剩余项 的均值为零 被解释变量估计值 与剩余项 不相关 解释变量 与剩余项 不相关 （j=1,2,-k）,16,17,1、 线性特征 是Y的线性函数，因 是非随机或取固定值的矩阵 2、 无偏特性 (证明见教材P101附录3.1) 3、 最小方差特性 在 所有的线性无偏估计中，OLS估计 具有最小方差 (证明见教材P101或附录3.2) 结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估 计式是最佳线性无偏估计式（BLUE）,18,三、 OLS估计的分布性质 基本思想： 是随机变量，必须

7、确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量， 决定了Y也是服从正态分布的随机变量 是Y的线性函数，决定了 也是服从正态分布的随机变量,19, 的期望 (由无偏性) 的方差和标准误差： 可以证明 的方差协方差矩阵为（见下页） 这里的 （其中 是矩阵 中第 j 行第 j 列的元素） 所以 （j=1,2,-k）,的期望与方差,20,其中：,(由无偏性),(由同方差性),(由OLS估计式),20,注意 是向量,的方差-协方差,21,一般未知，可证明多元回归中 的无偏 估计为：(证明见P103附录3.3) 或表示为 将 作标准化变换：,21,对比: 一元回归中,22,因 是未知

8、的， 可用 代替 去估计参数的标准误差: 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 作标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分布 当为小样本时，用估计的参数标准误差对 作标准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：,22,23,五、 回归系数的区间估计,由于 给定 ，查t分布表的自由度为 n-k 的临界值 或 或表示为,23,24,一、多元回归的拟合优度检验 多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释 变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占 的比重，用 表示 与简单线性回归中可决系数 的区别只是 不同 多元回归中 多重可决系数可表示为 (注意:红色字体是与一元回归不同的部分),24

9、,25,多重可决系数的矩阵表示 可用代数式表达为 特点:多重可决系数是模型中解释变量个数的不减函 数，这给对比不同模型的多重可决系数带来缺陷， 所以需要修正。,26,修正的可决系数 思想：可决系数只涉及变差，没有考虑自由度。 如果用自由度去校正所计算的变差，可纠 正解释变量个数不同引起的对比困难。 回顾: 自由度：统计量的自由度指可自由变化的样本观 测值个数，它等于所用样本观测值的个 数减去对观测值的约束个数。,27,可决系数的修正方法 总变差 TSS 自由度为 n-1 解释了的变差 ESS 自由度为 k-1 剩余平方和 RSS 自由度为 n-k 修正的可决系数为,28,修正的可决系数 与可决

10、系数 的关系 已经导出： 注意： 可决系数 必定非负，但所计算的修正可决系数 有可能为负值 解决办法：若计算的 ，规定 取值为0,29,29,基本思想： 在多元回归中包含多个解释变量，它们与被解释 变量是否有显著关系呢？ 当然可以分别检验各个解释变量对被解释变量影 响的显著性。 但是我们首先关注的是所有解释变量联合起来对被 解释变量影响的显著性, 或整个方程总的联合显著性， 需要对方程的总显著性在方差分析的基础上进行F检验。,30,30,在讨论可决系数时已经分析了被解释变量总变差 TSS的分解及自由度： TSS=ESS+RSS 注意: Y的样本方差= 总变差/自由度 即 显然，Y的样本方差也可

11、分解为两部分，可用方差分析 表分解,30,1.方差分析,31,变差来源 平 方 和 自由度 方 差 归于回归模型 ESS= k-1 归于剩余 RSS= n-k 总变差 TSS= n-1 基本思想: 如果多个解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著, “归于回 归的方差“ 比“归于剩余的方差”显著地小应是大概率事件。,方差分析表,32,原假设: （所有解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著） 备择假设: 不全为0 建立统计量(可以证明): 给定显著性水平 ，查F分布表中自由度为 k-1 和 n-k 的临界值 ，并通过样本观测 值计算F值,32,33,F检验方式,如果计算的F值大于临界值 ， 则

12、拒绝 ，说明回归模型有显著意义， 即所有解释变量联合起来对Y确有显著影响。 如果计算的F值小于临界值 ，则不拒绝 ，说明回归模型没有显著 意义，即所有解释变量联合起来对Y没有显著影响。,34,注意: 在一元回归中F检验与t检验等价, 且 (见教材P87证明) 但在多元回归中，F检验显著，不一定每个解释变量都对 Y有显著影响。还需要分别检验当其他解释变量保持不变 时，各个解释变量X对被解释变量Y是否有显著影响。 方法： 原假设 （j=1,2,k） 备择假设 统计量t为：,35,给定显著性水平，查t分布表的临界值为 如果 就不拒绝 ，而拒绝 即认为 所对应的解释变量 对被解释变量Y的影响不显 著。

13、 如果 就拒绝 而不拒绝 即认为 所对应的解释变量 对被解释变量Y的影响是 显著的。 讨论：在多元回归中，可以作F检验，也可以分别对每个回 归系数逐个地进行 t 检验。 F 检验与t检验的关系是什么？,对各回归系数假设检验的作法,36,一、被解释变量平均值预测 1. Y平均值的点预测 方法：将解释变量预测值代入估计的方程： 多元回归时： 或 注意: 预测期的 是第一个元素为1的行向量,不是矩 阵,也不是列向量,37,2. Y平均值的区间预测,基本思想： （与简单线性回归时相同） 由于存在抽样波动，预测的平均值 不一定 等于真实平均值 ，还需要对 作区间估计。 为了对Y作区间预测，必须确定平均值预测值 的抽样分布。 必须找出与 和 都有关的统计量, 并要明确其概率分布性质。,37,38,区间预测的具体作法,当 未知 时，只得用 代替，这时,简单线性回归中,(回顾简单线性回归),38,39,多元回归时，与预测的平均值 和真实平均值 都有关的是二者的偏差 ： 服从正态分布，可证明 用 代替 ，可构造 t 统计量,区间预测的具体作法（多元时）,40,服从正态分布，可证明 即 标准化 当用 代替 时 ，可构造 t 统计量,40,41,给定显著性水平，查t分布表，得自由度为 n-k的 临界值 ，则 或,区间预测的具体作法,42,基本思