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1、15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力,一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析 主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化 一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和 一力偶矩。,FI1FI2,FI1FI2,绕定轴转动刚体的轴承动反力,绕定轴转动刚体的轴承动反力,三、惯性力系简化 一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。,这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即,由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而FI垂直于转轴。,为了求惯性力系对O点的主矩，将速度和加速度写成矢量积的形式,式中,质量对
2、称面,式中,为刚体对z轴的转动惯量；,为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。,根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为,惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为,惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为,四、平衡方程,为了转动刚体支座反力，将此主动力系也向O点简化，如图所示,由前五个方程解得轴承反力：,由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，沿z轴的反力与惯性力无关。,由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部分组成： （1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。,即轴承附加动反力等于
3、零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于x轴和y轴的矩等于零。,轴承附加动反力等于零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于 x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有,要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。,要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性积等于零。,五、讨论,1、静反力：由主动力引起，与运动无关。 2、动反力： 起因： 质心C不在转轴上 危害性：将要产生动反力。 消除附加动反力的方法；,对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大，应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。,绕定轴转动刚体的轴承动反力：,
4、（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动 时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力 往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。,（2）产生原因： 质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴 匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在轴线上，则：,FI1FI2,FI1FI2,绕定轴转动刚体的轴承动反力,绕定轴转动刚体的轴承动反力,六、动平衡的概念,1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。,七、惯性主轴,2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求： 转轴要过质心（xc= yc =0）； Jy
5、z= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴),惯性主轴与中心惯性主轴：,(1) 惯性主轴：,即：如果刚体对通过点O的z轴的惯性积：,则z轴称为该点的惯性主轴。,（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。,上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的条件是：,转轴通过刚体的质心，且 刚体对转轴的惯性积等于零，,即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。,4静平衡与动平衡： 静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心， 刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体 可以在任意位置平衡的现象称为静平衡；,动平衡：如
6、果转动轴是中心惯性主轴，刚体绕 定轴转动时，不出现轴承动附加反力的现象称为动 平衡。,静平衡： （a) (b)、 (d),动平衡： ( a),动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来， 静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,例5 质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,例:如图所示的飞轮，质量为m=200kg，其质心C至转轴的距离e=0.05cm，飞轮安装在转轴的中点。若飞轮以匀转速n=6000r/min绕其轴转动，试求飞轮质心C运动到最低位置时轴承反力。,解：以飞轮和转轴所组成 的质点系为研究对象， 作用于其上的
7、力有： 重力mg和轴承反力FA、FB。,解：作用于其上的力有：重力mg和轴承反力FA、FB,RImew2。,又RI的方向随质心位置而异， 当质心C运动到如图所示的 最低位置时，RI铅垂向下。,因飞轮转速不变，附加于飞轮上的惯性力系向轴心O 简化后所得的主矩应为零，故简化结果为合力RI，且,因飞轮位于转轴的中点，故由平衡方程得,由此可见，轴承反力为两项之和: 前者为飞轮自重引起的静反力， 后者为飞轮作偏心运动时所 引起的附加动反力。 本例中，附加动反力约为静反力的20倍,FAFB（mgmew2）/2,m=200kg，e=0.05cm，n=6000r/min,2009.80.0005(6000p/
8、30)2/2 9801972020700N,动反力有时会造成很大危害。 在设计中虽力图使质心位于转轴上，但由于设计、制造和安装时很难完全避免的误差，必然会导致转动物体的质心偏离转轴。,因此，高速转动物体的动反力可以达 到很大的值。 所以，必须用实验方法对高 速转动的物体加以平衡校正， 务必使它在转动时的动反力 被限制在容许的范围之内。,加平衡质量,根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。 应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可
9、以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,达朗贝尔原理的应用,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。,注 的方向及转向如已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。,例1 质量为m1和m2的两
10、重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：,用达朗伯原理求解,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式 得：,汽车连同货物的总质量是m ，其质心 C 离前后轮的水平距离分别是 b 和 c ，离地面的高度是 h 。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。,例5,取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力 mg ，地面对前、后轮的铅直反力 FNA ， FNB 以及水平摩擦力 FB (注意：前轮一
11、般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。,解：,因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的一个力 F * = Ma 。,于是可写出汽车的动态平衡方程,汽车的动态平衡方程,由式(1)和(2)解得,F I = Ma,例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力 （不计滚动摩擦）？,解：用达朗贝尔原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮
12、A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIA如图示。,列出动静方程：,运动学关系：,取轮O为研究对象，,取轮A为研究对象，,运动学关系： ，,将MI，FI，MIA及运动学关系代入 到(1)和(4)式并联立求解得：,代入(2)、(3)、(5)式，得：,均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆长l=2r，质量为m。杆端A点与轮心为光滑铰接，如图所示。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面滚动。 问F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？ 又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？,例10,细杆刚离地面时仍为平动，而地面约束力为零，设其加速度为a。以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中F*
13、IC =maC=ma 。,解出,解：,按动静法列出方程,为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。,由方程 ，得,地面摩擦力,解得,整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中,由方程 得,再以整个系统为研究对象，由方程 ，得,由此，地面摩擦系数,设匀质转子重 P，质心 C 到转轴的距离是 e，转子以匀角速度 绕水平轴转动， AO = a ，OB = b (图 a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。,例6,解:,轴 Oz 是转子在点 O 的主轴之一。可见惯性力对点 O 的主矩在垂直于 Oz的平面上两轴的投影 M ICx 和 MICy 恒等于零。,方向沿 OC。当质心
14、C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。,又 a = 0，这样 MICz 也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O 的一个力 F IC ，大小等于,根据动静法写平衡方程,由式 (1) 和 (2) 解得,两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相等而方向相反。,解：刚体作平面运动，惯性力系向质心简化，,例 习题12-29：均质杆AB长为l，质量为m，,其中,自铅直位置开始A端沿墙壁向下滑动，B端沿水平面滑动，AB保持在铅直平面内。不计摩擦，求杆AB任一瞬时的角速度和角加速度用位置角q表示。,对时间求二阶导数，得,由动静法,代入数据得：,分离变量,积分得,解法二；用动能定理求解。,任一瞬时系统的动能,其中vC lw/2,由动能定理得,由动能定理得解得,对上式导数得,解法三；用刚体平面运动微分方程求解。,解法四：可将惯性力投影的自然轴上，质心C的轨迹曲率中心不一定是瞬心I点，但利用动静法对I点取矩时，法向惯性力通过矩心而不出现。,MCIJCa； MCIml2a/12 FnI （作用线沿对角线OI） FtImla2,又解：1、惯性力系向质心简化得,F,t,I,（当质心到速度瞬心的距离保持不变时，可对瞬心取动量矩） MI0 FtIl2MCImg lsinq20 整理上式得 a3gsinq2l,
