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1、单辉祖:工程力学,1,第 10 章 弯曲内力, 梁的剪力、弯矩方程 梁的剪力、弯矩图 载荷与弯曲内力间的微分关系,本章主要研究:,单辉祖:工程力学,2,1 引言 2 梁的计算简图 3 剪力与弯矩 4 剪力、弯矩方程与图 5 FS , M 与 q 间的微分关系 6 非均布载荷梁的剪力与弯矩,单辉祖:工程力学,3,1 引 言, 弯曲实例 弯曲及其特征,单辉祖:工程力学,4, 弯曲实例,单辉祖:工程力学,5, 弯曲及其特征,外力或外力偶的矢量垂直于杆轴,变形特征：,杆轴由直线变为曲线,弯曲与梁：,以轴线变弯为主要特征的变形形式弯曲,以弯曲为主要变形的杆件梁,外力特征：,画计算简图时，通常以轴线代表梁
2、,计算简图：,单辉祖:工程力学,6,2 梁的计算简图, 约束形式与反力 梁的类型,单辉祖:工程力学,7, 约束形式与反力,主要约束形式与反力,固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy,可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR,固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶,单辉祖:工程力学,8, 梁的类型,简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁,外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁,悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁,常见静定梁,静不定梁,约束反力数超过有效平衡方程数的梁,单辉祖:工程力学,9,3 剪力与弯矩, 剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题,单辉祖:工程力学,10,
3、 剪力与弯矩,FS剪力,M弯矩,剪力作用线位于所切横截面的内力,弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩,单辉祖:工程力学,11, 正负符号规定,使微段沿顺时针方向转动的剪力为正,使微段弯曲呈凹形的弯矩为正,使横截面顶部受压的弯矩为正,单辉祖:工程力学,12,剪力符号判断的左手定则,首先，进行整体平衡求出支座反力；然后，再取截面、求内力。 把左手放在外力作用处伸直，四指方向与外力方向一致，左手掌心向着截面，左手大拇指方向即表示该处的外力在截面上所产生的剪力的正负号。当左手大拇指向上时，剪力为正；反之，大拇指向下时，剪力为负。 构件任一截面上的剪力等于该截面任意一边（左边或右边）上所有外力在该截面上所产
4、生的各个剪力的总代数和的值。,单辉祖:工程力学,13,弯矩符号判断的左、右手定则,首先，整体平衡求出支反力；然后，取截面、求内力。 当我们保留截面左半段梁作分析时，则应当用左手定则；反之，如果保留截面右半段梁时，则应当用右手定则分析。以下以保留截面左半段梁时的左手定则为例予以说明。 把左手放在外力作用处伸直，四指方向与外力方向一致，左手掌心向着截面，左手大拇指方向即表示该处的外力在截面上所产生的弯矩的正负号。当大拇指向上时，弯矩为正；反之，当大拇指向下时，弯矩为负。 当遇到梁上作用的外力偶矩时，左右手不变，掌心向截面的要求取消；手势由掌变拳，四指握拳方向与外力偶矩的转向保持一致。当大拇指向上时
5、，弯矩为正；反之，当大拇指向下时，弯矩为负。 梁上任一截面处的弯矩等于该截面任意一边（左边或右边）所有外力和外力偶在该截面上产生的各个弯矩的总代数和。 注意：如果分析对象由左半段梁变换为右半段梁后，分析手法也应及时地由左手变换为右手，切记之！,单辉祖:工程力学,14,内力符号判断手则小结,扭矩左手定则；左、右半段梁变换时，不存在换手判断问题。当左手拇指与截面外法线方向一致时为正。 剪力左手定则；左、右半段梁变换时，不存在换手判断问题。但是，必须牢记左手掌心始终要向着截面。 弯矩左、右手定则；左半段梁用左手，右半段梁用右手。左、右半段梁互相变换时，存在着换手判断的问题。 轴力无手则；拉为正，压为
6、负。,单辉祖:工程力学,15, 剪力与弯矩计算,在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正,单辉祖:工程力学,16, 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象, 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正, 由 SFy = 0 计算 FS, 由 SMC = 0 计算 M，C 为截面形心,计算方法与步骤,单辉祖:工程力学,17, 例 题,例 3-1 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。,解：,单辉祖:工程力学,18,4 剪力、弯矩方程与图, 剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图 例题,单辉祖:工程力学,19, 剪力与弯矩方程,FS , M 沿杆轴（x轴）变
7、化的解析表达式,剪力方程,弯矩方程,单辉祖:工程力学,20, 剪力与弯矩图,表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线，分别称为剪力图与弯矩图,二次抛物线,直线, 画剪力图, 画弯矩图,土建等类技术部门画法,单辉祖:工程力学,21, 例 题,例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图,解：1. 支反力计算,2. 建立剪力与弯矩方程,AC 段,CB 段,单辉祖:工程力学,22,3. 画剪力与弯矩图, 剪力图:, 弯矩图:, 最大值:,4. 讨论,在 F 作用处, 左右横截面上的弯矩相同, 剪力值突变,单辉祖:工程力学,23,解：1. 支反力计算,2. 建立剪力与弯矩方程,AB 段,BC
8、 段,例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图,单辉祖:工程力学,24,解：1. 支反力计算,2. 建立剪力与弯矩方程,AB 段,BC 段,例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图,单辉祖:工程力学,25,3. 画剪力与弯矩图,4. 讨论,在 Me 作用处，左右横截面上的剪力相同，弯矩值突变, 剪力图：, 弯矩图：, 剪力弯矩最大值:,单辉祖:工程力学,26,例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩,解：1. FS 与 M 图,2. FS 与 M 的最大值,单辉祖:工程力学,27,5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系, FS , M 与 q 间的微分关系 利用微分关系
9、画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点,单辉祖:工程力学,28, FS, M 与 q 间的微分关系,q 向上为正,x 向右为正,注意：,梁微段平衡方程,单辉祖:工程力学,29,均布载荷下 FS 与 M 图特点, 利用微分关系画 FS 与M 图,单辉祖:工程力学,30,2. 计算支反力、剪力与弯矩, q=0，FS 图水平直线，M 图直线 求 FSA+ 画 FS 图 求 MA+ 与 MB- 画 M 图,应用,利用微分关系画梁的剪力与弯矩图,1. 问题分析,单辉祖:工程力学,31,3. 画剪力图,4. 画弯矩图,FS 图水平直线,M 图斜直线,单辉祖:工程力学,32, 例 题,例 5-1 画剪力
10、与弯矩图,斜线,ql/8,0,ql2/16,ql/8,-3ql/8,ql2/16,0,解：1. 形状判断,2. FS 与 M 计算,单辉祖:工程力学,33,9ql2/128,3. 画FS与M图,单辉祖:工程力学,34, 利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状, 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力与弯矩, 将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图, 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成, 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定, 微分关系法要点,单辉祖:工程力学,35,6 非均布载荷梁的剪力与弯矩, 非均布载荷的合力 线性分布载荷梁的
11、内力 例题,单辉祖:工程力学,36,合力大小：, 非均布载荷的合力,合力作用线位置:,载荷集度图的面积,载荷集度图形心横坐标,单辉祖:工程力学,37,线性分布载荷集度的一般表达式为, 线性分布载荷梁的内力,( a、b 为常数）,FS 为 x 的二次函数，FS 图为抛物线,M 为 x 的三次函数，M 图为三次曲线,M 图的凹凸，由 q 的正负确定,线性分布载荷,线性分布载荷梁内力,单辉祖:工程力学,38,解: 1. 外力分析,例 6-1 建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图, 用微分关系校核,2. 建立剪力与弯矩方程, 例 题,单辉祖:工程力学,39,3. 画剪力与弯矩图, 2 次抛物线, 3 次曲线,q0l2/(93),单辉祖:工程力学,40,4. 利用微分关系检查 FS 与 M 图,FS 图二次抛物线 M 图三次曲线,q 渐减，q 0 FS 图凸曲线,M 图凸曲线,单辉祖:工程力学,41,本章结束！,
