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1、9第五章 抽样与抽样分布第一节 抽样的基本概念一、几个基本概念1、目标总体和抽样总体目标总体就是研究对象的全体。抽样总体是指从中抽取样本的总体。二者理应一致，但实际中有时难以保证。2、抽样单元和抽样框抽样总体的具体表现就是抽样框，通常是一份包含所有抽样单元的名单，好的抽样框应该尽可能多地提供与研究目标有关的辅助信息。抽样单元是构成抽样框的基本单位，可以是一个个体，也可以包含若干个个体，还可以分级。分级情况下，总体由若干个较大规模的抽样单元组成，为初级单元，每个初级单元又包含若干个规模较小的单元，为二级单元，以此类推。抽取哪一级，就需要有哪一级的抽样框。3、抽样误差和非抽样误差抽样误差是抽取样本
2、的随机性造成的样本值和总体值之间的差异。只要采用抽样调查，抽样误差就不可避免，但可通过增大样本量来减小误差。非抽样误差是由于其他多种原因引起的样本值和总体值之间的差异。三、抽样方案设计1、抽样设计步骤：明确调查目的，确定研究对象，确定目标量；明确总体及抽样单元；（根据总体的定义，收集一份全部个案的名单）对主要目标量的精度提出要求（误差控制在多大范围内）；选择抽样方法；根据抽样方法、精度要求等确定样本量，并估计抽样误差；制定具体步骤。2、设计原则（1）随机性原则总体中所有个体被抽中机会相等。（2）抽样效果最佳原则在固定费用下，抽样误差最小；在要求精度下，费用最少。第二节 抽样方法一、随机抽样1、
3、简单随机抽样：最基本的抽样方法，最符合随机原则，每个个体都有同样的被抽中概率。是其它复杂抽样设计的基础。使用随机数表。2、分层抽样：将总体按照某些特征分成若干个层，在每一层当中独立抽取若干子样本。要求组内同质性强，组间差异大。由于在每层中都抽取出一些样本，样本具有较好的均匀性，代表性更强。3、整群抽样：先将总体划分为若干群，然后以群为初级抽样单元，从中随即抽取n个群，对抽中的裙内的所有次级单元都进行调查。要求群内差异大，群间差异小。组织上方便，但抽样单元过于集中，抽样误差最大。4、系统抽样：按照某种顺序给总体中的N个单元编号，然后随机抽取一个编号作为样本的第一个单元，其它单元则按照某种确定的规
4、则抽取。最常见的是等距抽样，按照相等的距离抽取样本。尽可能按照与调查项目有关的变量的大小顺序进行排序总体单元，类似于分层抽样，这样抽取出的样本分布均匀；或者随机排序；要尽量缩小各个等距组内的方差，增大等距组间的方差，否则抽出的样本有偏（每一组内都服从同样的规律）。5、PPS抽样：概率比例抽样，是一种多阶段抽样，每一阶段都可视为整群抽样，每一个抽中的群继续被整群抽样，直到抽样的单元满足要求，成为基本的调查单元。PPS抽样的优点是每个群被抽中的概率与其规模成正比，规模大的抽样概率大，但是最终会实现每个个体具有相同抽样概率，保证估计的无偏性。二、非随机抽样法（没有样本框）1、目的抽样由研究者根据自己
5、的主观判断选择代表性个案。2、偶遇抽样常见于市场调查，街访。3、定额抽样根据总体的某些特征分组，然后用目的抽样或偶遇抽样来选择。代表性高于前两种方法。非随机抽样优点在于简便，代价小，故常用于探索性或试点研究。缺点是不能推断总体。第三节 抽样分布一、抽样分布的概念抽取到不同的样本，会导致样本统计量的不同取值。所以要抽取大量样本，计算出各个样本统计量出现的可能性，得到各个样本统计量的概率分布，才能判断和比较哪个样本量比较合适。样本统计量的抽样分布：由n个样本的各观察值计算出的统计量的概率分布。例1：从某个班100位学生中抽取4位学生，计算身高（=169，=6.4），来估计全班平均身高，假设抽取了成
6、千上万个样本，得到了如下结果：抽样分布计算的期望值计算的标准差（标准误差）P()P()(-169)2(-169)2 P()1610.011.61640.641630.058.15361.801650.1219.80161.921670.1931.7340.761690.2643.9400.001710.1932.4940.761730.1220.76161.921750.058.75361.801770.011.77640.641.00的期望值=169的方差=10.24P的标准误差=3.20为了区分X的标准差和的标准差，的标准差通常称为标准误差(SE)。可以发现，样本均值抽样分布成正态分布，有
7、时大于有时小于总体均值，平均来看趋于。的期望值正好等于估计目标。总体标准差是的标准误差SE的2倍。为什么样本均值的波动小于观察值X的波动？这是取平均数的结果。通过取平均数，样本均值围绕目标的波动就会小。 样本容量越大，的标准误差就越小，分布的形状就越窄，波动越小，样本均值就是的更可靠的估计。 当总体为偏态分布时，样本均值的概率分布是否服从正态分布取决于样本量。当n等于5时，样本均值抽样分布开始向正态分布发展，n=30时各种样本均值抽样分布无差别，基本形成正态分布。二、样本均值的抽样分布1、样本均值抽样分布的特征A抽样分布的中心就是原总体中心，数学上可以证明：的期望值=；B抽样分布的标准误差比总
8、体标准差小，样本量越大，标准误差越小，数学上可以证明：标准误差(SE)=/C正态总体产生正态抽样分布；非正态总体，随着样本量的增加，样本均值抽样分布也会近似变成正态。这三点即独立同分布中心极限定理。例2：几年前台湾一项调查显示，台湾民众月收入近似成正态分布，均值为13100台币，标准差为8750元，求：1） 随机抽取一人，收入超过18430元的概率？2） 抽取一个10人样本，平均收入超过18430元的概率？解：1）Z= =(18430-13100)/8750=0.608 Pr(X18430)=Pr(Z0.608)0.270927%2）样本均值成正态分布，E()=13100，SE=/=8750/
9、 2767。对样本均值进行标准化： Z= =(18430-13100)/2767=1.92 Pr(18430)=Pr(Z1.92)0.02743% 可见，一个人收入超过18430元的机会较大，但10个人的平均收入超过18430元的机会则很小。例3：假定某班级男生平均身高169cm，标准差为10.2cm，如果抽取一个n=100的随机样本，那么样本均值在2之内的机会是多少？解：样本均值的期望值=169，标准误差SE=/=1.02，求样本均值在167-171之间的概率，可先求171的概率。Z= =(171-169)/1.02=1.96Pr(171)=Pr(Z1.96)=0.025。利用正态分布的对称
10、性，171和169的概率相等，所以Pr(167171)=1-20.025=95%练习题：一架电梯极限负重1000公斤，一般可容纳13人。假定电梯的所有乘客平均体重70公斤，标准差12公斤。那么一个13个人的随机样本总重量超过极限负重的概率是多少？ 解：原提问可以转化为：13人样本的平均体重超过1000/13=76.92的概率是多少？人们的体重服从正态分布，期望值=70，SE=3.33，Z=(76.92-70) /3.33=2.08Pr(76.92)=Pr(Z2.08)=0.001882%2、不放回抽样的抽样分布 中心极限定理的前提是每次抽样的独立性，如果采取不放回抽样，则不再适用。但不放回抽样
11、会使抽样分布波动小，标准误差变小。于是将中心极限定理作修改，使其对于不放回抽样也适用。不放回抽样的标准误差计算公式： SE= 称为缩减因子/修正系数 当总体远远大于样本数时，则缩减因子几乎为1，可忽略。三、样本比例的抽样分布假定总体只有两种特征，分别赋值1和0，将想要研究的特征赋值为1。例4：某市育龄妇女生育意愿普查，65%的赞成“只生一个孩子”，35%不赞成或不表态。赞成为1，否则为0，总体分布如下：求：1）总体均值、总体方差、总体中赞成的比例；2）随机抽取10位育龄妇女，得到样本值为1、0、0、1、1、1、0、1、1、1，求样本均值、样本中赞成比例。解：1）X相对频率P(X)均值XP(X)
12、方差(X-)2P(X)00.3500.14787510.650.650.079625=0.652=0.2275总体均值=0.65，正好是总体中赞成比例，方差=0.2275 =0.350.65。2）样本均值=7/10=0.7，样本中赞成比例=7/10=0.7 样本均值等于样本中赞成的比例。将这个结果推广到一般情况。对于任何一个可以分为两种特征的总体，见下表， X= 1 成功 0 失败P(X)XP(X)(X-)2P(X)01-02(1-)1(1-)2 则总体均值=总体比例； 总体标准差= 处理比例的巧妙办法就是引入0-1变量（哑变量），规定总体中具有某种特征的个体为1，否则就为0，总体中对应于1的
13、比例就是该变量的均值，样本中含1的个体比例就是样本均值。把比例看作均值就可以用样本均值抽样分布原理来处理。同时，对于大样本来说，P的抽样分布近似正态。所以，P的期望值=； P的标准误差=例5：学校选人大代表，结果有60%的选民投了我院院长而当选。假定选举之前有人做了预测，抽取了一个n=30的随机样本进行民意测验，如果样本中只有半数一下的比例支持院长，那么会得出院长失败的结果，显然这一预测是一个倒霉的预测。那么，抽取到以上样本的概率是多少？即错误预测的机会多少？解：用p表示样本中支持院长的比例，要计算p 小于50%的概率。根据中心极限定理，p的期望值=0.6；SE=0.0894。将p=0.5标准
14、化：Z=(P-)/SE=(0.5-0.6)/0.0894=-1.12Pr(p0.5)=Pr(Z-1.12)=0.131413% 所以，预测错误的机会比较大，因为样本量不够大。如果将样本量增到100，错误概率为2%。四、样本方差的抽样分布由样本方差的所有可能取值形成的概率分布，称为样本方差的抽样分布。设随机变量x1,x2,x3.xi相互独立且服从同一正态分布，则将这些随机变量标准化，再计算它们的平方和，得到卡方值，服从于自由度为n-1的卡方分布：=进一步整理得=（n-1）分布的特点：分布的变量值始终为正；分布的形状取决于自由度大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度增大而逐渐趋于对称；分布的期望值E()=n，方差=2n；分布具有可加性，若U和V是两个独立的分布随机变量(n1),(n2)，则U+V服从于自由度为n1+ n2的卡方分布。n=1 n=10 n=20n=4
