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1、第三章,矩阵的初等变换 与线性方程组,习 题 课,矩阵的初等变换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),说明:,1.由单位矩阵 E 经一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。,2.初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3.,4.行阶梯形矩阵(行最简形矩阵),5.,矩阵秩的概念,矩阵秩的求法,(1)利用定义,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,(2)初等变换法,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,不等于零的子式的最高阶数,有解的判定条件,有无穷多解.,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,解法,系数矩阵化成行最简形矩阵，
2、便可写出其通解；,增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,线性方程组,矩阵初等变换应用,用初等变换求矩阵的秩,用初等变换求矩阵的逆矩阵,用矩阵初等行变换求解线性方程组,初等行变换,初等列变换,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数),注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形,一、求矩阵的秩,
3、二、求解线性方程组,三、求逆矩阵的初等变换法,四、解矩阵方程的初等变换法,典 型 例 题,一、求矩阵的秩,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用,例 求下列矩阵的秩,解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵,注意 在求矩阵的秩时
4、，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形,二、求解线性方程组,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则,例 求非齐次线性方程组的通解,解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简单形,解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简单形,由此可知 ，而方程组(1)中未知量的个数是 ，故有一个自由未知量.,例 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解,解法一 系数矩阵 的行列式为,从而得到方 程组的通解,例 当 取何值时
5、，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解,解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形,三、求逆矩阵的初等变换法,例 求下述矩阵的逆矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,四、解矩阵方程的初等变换法,或者,例,解,第三章 测试题,一、填空题,1若 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 ，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解,2齐次线性方程组,只有零解，则 应满足的条件是 ,4线性方程组,有解的充要条件是,二、计算题,2求解下列线性方程组,有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解,三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,测试题答案,
