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1、北京市中国人民大学附属中学高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数y=x-1x(x0)的值域为A. 2,+)B. RC. (0,+)D. (-,-22,+)【答案】B【解析】【分析】根据函数y=x-1x在定义域(0,+)上是单调增函数，且满足f(1)=0，判断f(x)的值域为R【详解】解：函数y=x-1x在定义域(0,+)上是单调增函数，且满足f(1)=0，f(x)的值域为R故选：B【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题2.若集合A=x|2x-1|3，B=x|2x+13-x0，则AB是A. x|-1x-12或2x3B. x|2x3C
2、. x|x3D. x|-12x2【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出【详解】解：由于|2x-1|3，即-32x-13，解得-1x2，A=x|-1x2，由2x+13-x0，解得x3，B=x|x3，AB=x|x3，故选：C【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则3.已知f(x)是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出f(x)在-1,0上
3、是减函数，再由函数的周期性即可得出f(x)为3,4上的减函数，由此证明充分性，再由f(x)为3,4上的减函数结合周期性即可得出f(x)为-1,0上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f(x)为0,1上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)为0,1上的增函数，则f(x)为-1,0上是减函数，又f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且3,4与-1,0相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出f(x)为3,4上的减函数，故充分性成立若f(x)为3,4上的减函数，同样由函数周期性可得出f(x)为-1,0上是减函数，再由函数是偶函数可得出f(
4、x)为0,1上的增函数，故必要性成立综上，“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件故选：C【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A. xR,f(x)f(x0)B. x0是f(x)的极小值点C. x0是-f(x)的极小值点D. x0是-f(x)的极小值点【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B
5、中的f(x)是将f(x)的图像关于Y轴对称，所以x0是其极大值点；对于C中的f(x)是将f(x)的图像关X轴对称，所以x0才是其极小值点；而对于D中的f(x)是将f(x)的图像关原点对称，故x0是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合A=(x,y)|y=ax，B=(x,y)|yx+1或yx+1. 若AB，则正实数a的取值范围是A. 0,1eB. 1e,eC. (1,e2D. e,+)【答案】B【解析】作出不等式yx+1或yx+1表示的区域，可知要想满足AB,须满足x0时,f(0)1,所以f(x)=
6、axlna,f(0)=lna,lna1且lna1,1eae6.设x1，x2，x3均为实数，且12x1=log2(x1+1)，12x2=log3x2，12x3=log2x3，则（ ）A. x1x3x2B. x3x2x1C. x3x1x2D. x2x1x3【答案】A【解析】【分析】由题意将x1，x2，x3分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可【详解】由题意得，x1，x2，x3分别是函数y=12x1与y=log2x+1,y=log3x,y=log2x图象的交点横坐标在同一坐标系内作出函数y=12x1,y=log2x+1,y=log3x,y=log2x的图象，如
7、图所示，由图可得x1x30若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（ ）.A. -1,2B. -1，0C. 1，2D. 0,2【答案】D【解析】由于当x0时，f(x)=x+1x+a在x=1时取得最小值2+a，由题意当x0时，f(x)=(xa)2应该是递减的，则a0，此时最小值为f(0)=a2，因此a2a+2，解得0a2，选D8.据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a1,a2,a3,an和b1,b2,b3,bn，令M=m|amac【解析】【分析】可看出0(12)0.31,log1220，从而比较出a，b，c的大小【详解】解：0(12)0.30.30=1，log122ac故答案为：b
8、ac【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法11.在平面直角坐标系xoy中，若曲线y=ax2+bx（a,b为常数）过点P(2,5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= .【答案】3【解析】曲线y=ax2+bx过点P(2,5)，则4a+b2=5，又y=2axbx2，所以4ab4=72，由解得a=1,b=2,所以a+b=3【考点】导数与切线斜率【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间y（单位：时间）与储存温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b，（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）若食品在0的保险时间设计192小时
9、，在22的保险时间是48小时，该食品在33的保鲜时间是_小时【答案】24【解析】分析：利用该食品在0的保险时间设计192小时，在22的保险时间是48小时，可得192=eb48=e22k+b，解得e11k=12，进而可得结果.详解：某食品的保鲜时间y（单位：时间）与储存温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（k，b是常数）该食品在0的保险时间设计192小时，在22的保险时间是48小时，192=eb48=e22k+b，解得e22k=48192=14，e11k=12，该食品在33的保鲜时间y=e33k+b=(e11k)3eb=123192=24故答案为24点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问
10、题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得e11k=12，从而使问题得以解决.13.若不等式2xx2+a对于一切x-2,3恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】a-8【解析】【分析】分离参数a，得ax2+a，a2x-x2，2x-x2=-(x-1)2+1在x-2,3的最小值为-8，实数a的取值范围为a-8故答案为a-8【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域14.已知函数f（x）2x，g（x）x2ax（其中aR）.对于不相等的实数x1，x2，设mf(x1)f(x2)x1x2，ng(x1)g(x2)x1x2，现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于
11、任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中真命题有_（写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】对于，因为f （x）2xln20恒成立，故正确对于，取a8，即g（x）2x8，当x1，x24时n0，错误对于，令f （x）g（x），即2xln22xa记h（x）2xln22x，则h（x）2x（ln2）22存在x0（0，1），使得h（x0）0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，mn不一定成立.错误对于，由f （x）g（x），即2xln22xa令h（x）2xln22x，则h（x）2x（ln2）220恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x时，h（x）当x时，h（x）因此对任意的a，存在ya与函数h（x）有交点.正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数f(x)=-2a2lnx+12x2
