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1、第二章 函 数、导数,函数知识体系,第1讲,函数的概念、解析式 及定义域,因为两个函数的定义域相同、对应法则也相同时为同一函数，而与自变量选用的字母无关，故选C.,1.下列函数中，与y=x是同一函数的是( ),C,A.y= B.y= C.y= 3 D.y=2log2x,-2,1)(1,4),2.函数y= +lg(4-x)的定义域是 .,需考虑对解析式有限制的所有不等式的交集。,3.设 2ex-1 (x2) f(x)= log3(x2-1) (x)，则ff(2)的值为( ),C,A.0 B.1 C.2 D.3,f(2)=log3(22-1)=1,ff(2)=f(1)=2e1-1=2.选C.,4.
2、f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)= .,设f(x)= ，则由已知得-1= ，得k=3， 所以f(x)= .（待定系数法）,5.已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，若作换元代换x=g(t)，则不改变函数f(x)的值域的代换是( ),A,A.g(t)=log2t B.g(t)=|t| C.g(t)=cost D.g(t)=et,因为f(x)中的xR，需g(t)的值域为R.而g(t)=log2tR，故选A.,1、 理解函数的概念; 2、掌握简单的函数定义域的求法； 3、掌握求函数解析式的常用方法.,1.函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合
3、A中的 ，在集合B中都有 .的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,其中x的取值范围A叫函数的 , 叫函数的值域，值域是 .的子集.,任意一个数x,唯一确定,定义域,f(x)|xA,集合B,2.函数的三要素 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当 . 3.函数的表示法 .,定义域、对应法则、值域,定义域和对应法则完全相同,解析法、图象法、列表法,4.映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 的元素y与之对应，那么应称对应f:AB从集合A到B的一个映射.,任意一个元素x,唯一确定,注：函数是特殊的映射，但映射
4、不一定是函数。其对应都是一对一或多对一，而不能一对多。（举例说明）,（1）已知函数f(x)的定义域是0,1， 则f(x2-1)的定义域是 ； （2）若函数f(2x)的定义域是2,4,则f(x)的定义域是 （3）若函数y= 的定义域为R,则实 数k的取值范围是 .,题型一 函数的定义域问题,例1,- ,-11, ,(-2 ,2 ),4，16,f(x)与fg(x)的定义域的关系问题要搞清，两者之间的“x”的含义不同；逆向问题注意等价转化思想.,逆向问题,题型二 函数的解析式问题,求下列函数的解析式： (1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x); (2)已知2f(x)+f(-
5、x)=3x+2，求f(x).,例2,根据条件可灵活运用不同的方法求解.,(1)(方法一)待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. 又f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,比较两端的系数， 得 9a=9 6a+3b=-6 ， a+b+c=5 所以f(x)=x2-4x+8.,a=1 b=-4 , c=8,解得,(方法二)换元法. 令t=3x+1,则x= , 代入f(3x+1)=9x2-6x+5中， 得f(t)=9( )2-6 +
6、5=t2-4t+8, 所以f(x)=x2-4x+8.,（方法三）整体代换法. 因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8， 所以f(x)=x2-4x+8.,(2)直接列方程组求解. 由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x, 得2f(-x)+f(x)=-3x+2, 解方程组 2f(x)+f(-x)=3x+2 2f(-x)+f(x)=-3x+2, 得f(x)=3x+ .,求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：如果已知函数 fg(x)的表达式，可用换元法或配凑法求解；如果已知函数的类型时，可用待定系数法求解；如果所给式
7、子含有f(x)、f( )或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.,题型三 分段函数问题,例3.(1)已知函数f(x)= f(x+2)(x-1) 2x+2 (-1x1) 2x-4 (x1)， 则f f(-2008)= ； (2) f(x)= -x+1(x0) x-1(x0), 则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .,0,(2)当x+10时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x， 则原不等式可化为 x-1 x+(x+1)(-x)1,即x-1; 当x+10时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不等式可化为 x-1 x+(x+1)x1,即-1x-1+ . 综合,得
8、原不等式的解集为x|x -1.,分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； 分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式； 分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集，即先交后并。,例4. 已知函数对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.且x1时，f(x) 0 (1)求f(0),f(1)的值； (2)求证：f( )+f(x)=0(x0); (3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数)，求f(36)的值. （4）求证：f（x)在（0，+）上单减。,本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过
9、取特殊值来解决.,题型四 抽象函数问题,抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道函数的具体解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法.,1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可. 如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于零而不等于等等.,2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法. 3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合.,作业：课时作业（四）,(2009江西卷)函数f(x)= 的定义域为( ) A. (-4,-1) B. (-4,1) C. (-1,1) D. (-1,1,C,2 (2009山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= log2(1-x)(x0) f(x-1)-f(x-2)(x0)， 则f(2009)的值为( ),A.-1 B.0 C.1 D.2,C,
